Considerando o espaço vetorial (
), investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
-
.
-
.
-
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, nos três casos a seguir, se cada conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso vamos usar a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
- o vetor zero pertence a
, -
é fechado sob soma de vetores, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Analisando
:
– Vetor zero: satisfaz
, logo pertence a
.
– Soma: se e
estão em
, então
– Vetor zero:
– Soma: se
Para
temos
logo
.
– Escalar: dado com
e
,
– Escalar: dado
logo
.
Concluímos que esse satisfaz os três critérios, então é subespaço.
Concluímos que esse
Passo 3
Analisando
:
– Vamos mostrar falha na soma. Tome
– Vamos mostrar falha na soma. Tome
Ambos satisfazem
e
, logo
. Mas
então
. Falta de fechamento sob soma implica que
não é subespaço.
Passo 4
Analisando
:
– Vetor zero deve satisfazer , o que é falso. Como
, já falha o critério de conter o zero. Logo não é subespaço.
– Vetor zero deve satisfazer
Resposta
(i) é subespaço.
(ii) não é subespaço.
(iii) não é subespaço.
(ii) não é subespaço.
(iii) não é subespaço.