Considerando o espaço vetorial ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot, \mathbb{R} ), investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{3}
  • S=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} / a_{1}+a_{3}=0\right\}.
  • S=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} /\left|a_{1}\right|=\left|a_{2}\right|\right\}.
  • S=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} / a_{3}=a_{1}+2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, nos três casos a seguir, se cada conjunto S\subset\mathbb{R}^3 é um subespaço vetorial. Para isso vamos usar a definição: um subconjunto S de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
  1. o vetor zero pertence a S,
  2. S é fechado sob soma de vetores,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisando S=\{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3\mid a_1+a_3=0\}:
– Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0+0=0, logo pertence a S.
– Soma: se v=(v_1,v_2,v_3) e w=(w_1,w_2,w_3) estão em S, então
v_1+v_3=0 \quad\text{e}\quad w_1+w_3=0.
Para v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3) temos
(v_1+w_1)+(v_3+w_3) =(v_1+v_3)+(w_1+w_3) =0+0 =0,
logo v+w\in S.
– Escalar: dado v\in S com v_1+v_3=0 e \lambda\in\mathbb{R},
(\lambda v)_1+(\lambda v)_3 =\lambda v_1+\lambda v_3 =\lambda(v_1+v_3) =\lambda\cdot0 =0,
logo \lambda v\in S.
Concluímos que esse S satisfaz os três critérios, então é subespaço.

Passo 3

Analisando S=\{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3\mid |a_1|=|a_2|\}:
– Vamos mostrar falha na soma. Tome
v=(1,1,0),\quad w=(1,-1,0).
Ambos satisfazem |1|=|1| e |1|=|-1|, logo v,w\in S. Mas
v+w=(2,0,0) \quad\text{e} \quad |2|\neq|0|,
então v+w\notin S. Falta de fechamento sob soma implica que S não é subespaço.

Passo 4

Analisando S=\{(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3\mid a_3=a_1+2\}:
– Vetor zero deve satisfazer 0=0+2, o que é falso. Como (0,0,0)\notin S, já falha o critério de conter o zero. Logo não é subespaço.

Resposta

(i) é subespaço.
(ii) não é subespaço.
(iii) não é subespaço.

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