No espaço vetorial de funções reais definidas em \mathbb{R}, se consideram as funções f, g e h, definidas por f(t)= t^{2}+2 t-1, g(t)=t^{2}+1, h(t)=t^{2}+t, demostrar que são LD.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(t)=t^{2}+2t-1,\quad g(t)=t^{2}+1,\quad h(t)=t^{2}+t
são linearmente dependentes no espaço vetorial de todas as funções reais. Para isso, usamos a definição: funções f,g,h são LD se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a\,f(t)+b\,g(t)+c\,h(t)=0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e expandimos em potências de t.
a\,f(t)+b\,g(t)+c\,h(t) = a\bigl(t^{2}+2t-1\bigr) + b\bigl(t^{2}+1\bigr) + c\bigl(t^{2}+t\bigr).

Passo 3

Somando os termos semelhantes obtemos um polinômio em t:
(a+b+c)\,t^{2} + (2a + c)\,t + (-a + b).
Para que isso seja a função zero identicamente, cada coeficiente deve ser zero, gerando o sistema
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\\ 2a + c = 0,\\\\ -\,a + b = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema: da terceira equação vem b=a. Da segunda vem c=-2a. Substituindo na primeira:
a + a + (-2a)=0\quad\checkmark,
que é verdade para qualquer a. Escolhendo a=1 b=1 e c=-2, não todos nulos.

Resposta

As funções são linearmente dependentes, pois
1\cdot f(t) + 1\cdot g(t) -2\cdot h(t) = 0
para todo t.

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