Sejam V=\mathbb{R}^{2} e o corpo \mathbb{R}. Determine se as seguintes operações definem sobre V uma estrutura de espaço vetorial. (a, b)+\left(a_{1}, b_{1}\right)=\left(0.5 a+0.5 a_{1}, 0.5 b+0.5 b_{1}\right) e \alpha(\mathrm{a}, \mathrm{b})=(\alpha \mathrm{a}, \alpha \mathrm{b})

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=\mathbb{R}^2 com a “soma”
(a,b)+(a_1,b_1)=\bigl(0{,}5a+0{,}5a_1,\;0{,}5b+0{,}5b_1\bigr)
e a multiplicação escalar usual
\alpha(a,b)=(\alpha a,\alpha b).
Para ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, devemos satisfazer, entre outros, o axioma de associatividade da soma e a existência de elemento neutro.

Passo 2

Verificamos a associatividade da soma. Sejam \mathbf{u}=(u_1,u_2), \mathbf{v}=(v_1,v_2) e \mathbf{w}=(w_1,w_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} =\bigl(0{,}5u_1+0{,}5v_1,\;0{,}5u_2+0{,}5v_2\bigr)
e em seguida
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} =\bigl(0{,}5(0{,}5u_1+0{,}5v_1)+0{,}5w_1,\;0{,}5(0{,}5u_2+0{,}5v_2)+0{,}5w_2\bigr) =(0{,}25u_1+0{,}25v_1+0{,}5w_1,\;0{,}25u_2+0{,}25v_2+0{,}5w_2).
Por outro lado,
\mathbf{v}+\mathbf{w} =(0{,}5v_1+0{,}5w_1,\;0{,}5v_2+0{,}5w_2)
e
\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) =\bigl(0{,}5u_1+0{,}5(0{,}5v_1+0{,}5w_1),\;0{,}5u_2+0{,}5(0{,}5v_2+0{,}5w_2)\bigr) =(0{,}5u_1+0{,}25v_1+0{,}25w_1,\;0{,}5u_2+0{,}25v_2+0{,}25w_2).
Como em geral
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}\neq \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}),
a operação “+” não é associativa.

Resposta

As operações não definem em V uma estrutura de espaço vetorial, pois a soma não satisfaz o axioma de associatividade.

Exercícios relacionados