Seja V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
(1,0 ponto )\left(\begin{array}{ll}0 & 5 \\\\ 6 & 7\end{array}\right) \in\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}1 & 7 \\\\ 9 & 11\end{array}\right)\right].

Passo 1

O enunciado trabalha em V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) e pergunta se a matriz
C = \begin{pmatrix}0 & 5 \\\\ 6 & 7\end{pmatrix}
pertence ao subespaço gerado pelas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1 & 7 \\\\ 9 & 11\end{pmatrix}.
Em outras palavras, precisamos verificar se existem escalares c_1,c_2 tais que
c_1A + c_2B = C.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a combinação linear e igualar entradas:
c_1 \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}1 & 7 \\\\ 9 & 11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 5 \\\\ 6 & 7\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\\ 2c_1 + 7c_2 = 5,\\\\ 3c_1 + 9c_2 = 6,\\\\ 4c_1 + 11c_2 = 7. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação \;c_1 + c_2 = 0\; segue
c_1 = -\,c_2.

Passo 4

Substituindo c_1 = -c_2 na segunda equação 2c_1+7c_2=5, temos
2(-c_2) + 7c_2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 5c_2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = 1,
logo c_1 = -1.

Passo 5

Basta conferir que esses valores satisfazem as outras duas equações:
3ª: 3(-1)+9(1) = -3+9 = 6;
4ª: 4(-1)+11(1)= -4+11 = 7.
Tudo bate certinho, então a combinação existe.

Resposta

Verdadeiro.

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