Seja o espaço vetorial ( \mathbb{R}^{n},+, \cdot \mathbb{R} ). Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{n}
  • S=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} / a_{n} \in \mathbb{Z}\right\}.
  • S=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{3} / \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} a_{i}=0\right\}.

Passo 1

Estamos no espaço vetorial \mathbb{R}^{n} (ou \mathbb{R}^{3} no segundo caso). Para verificar se um subconjunto S é subespaço, usamos o critério padrão:
  1. O vetor zero de \mathbb{R}^n deve pertencer a S.
  2. S deve ser fechado sob adição: se u,v\in S, então u+v\in S.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in S.

Passo 2

Analisando
S_1 = \{(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{R}^n \mid a_n\in\mathbb{Z}\}\,.
  1. O vetor zero (0,\dots,0) tem a_n=0\in\mathbb{Z}, logo 0\in S_1.
  2. Se (a_1,\dots,a_n) e (b_1,\dots,b_n) têm a_n,b_n\in\mathbb{Z}, então (a_n+b_n)\in\mathbb{Z}, logo S_1 é fechado sob adição.
  3. Para escalar, tome (a_1,\dots,a_n)\in S_1 com a_n\in\mathbb{Z} e c\in\mathbb{R}. O n-ésimo componente de c(a_1,\dots,a_n) é c\,a_n, que nem sempre é inteiro (por ex., a_n=1 e c=\tfrac12 dão c\,a_n=\tfrac12\notin\mathbb{Z}).
    Portanto, falta fechamento sob multiplicação por escalar e S_1 não é subespaço.

Passo 3

Analisando
S_2 = \bigl\{(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{R}^n\mid \sum_{i=1}^n \alpha_i\,a_i = 0\bigr\},
com \alpha_i\in\mathbb{R} fixos.
  1. Para o zero, \sum_{i=1}^n \alpha_i\cdot0 = 0, logo 0\in S_2.
  2. Se \sum \alpha_i\,a_i=0 e \sum \alpha_i\,b_i=0, então
\sum_{i=1}^n \alpha_i\,(a_i+b_i) =\sum_{i=1}^n \alpha_i\,a_i \;+\;\sum_{i=1}^n \alpha_i\,b_i =0+0=0,
logo u+v\in S_2.
3. Para escalar, se \sum \alpha_i\,a_i=0 e c\in\mathbb{R},
\sum_{i=1}^n \alpha_i\,(c\,a_i) =c\sum_{i=1}^n \alpha_i\,a_i =c\cdot0=0,
logo c\,u\in S_2.
Assim, S_2 satisfaz os três critérios e é subespaço.

Resposta

S_1 não é subespaço de \mathbb{R}^{n}. S_2 é subespaço de \mathbb{R}^{n}.

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