Seja o espaço vetorial (
). Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de
-
.
-
.
Passo 1
Estamos no espaço vetorial
(ou
no segundo caso). Para verificar se um subconjunto
é subespaço, usamos o critério padrão:
- O vetor zero de
deve pertencer a . -
deve ser fechado sob adição: se , então . -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Passo 2
Analisando
- O vetor zero
tem , logo . - Se
e têm , então , logo é fechado sob adição. - Para escalar, tome
com e . O -ésimo componente de é , que nem sempre é inteiro (por ex., e dão ).
Portanto, falta fechamento sob multiplicação por escalar enão é subespaço.
Passo 3
Analisando
com
fixos.
- Para o zero,
, logo . - Se
e , então
logo
.
3. Para escalar, se e
,
3. Para escalar, se
logo
.
Assim, satisfaz os três critérios e é subespaço.
Assim,