Considerando que existe f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h calcule:
f^prime(3), se f(x)=raiz[3]x

Passo 1

Resumo do que a questão pede e o que vamos usar
A questão te dá a definição de derivada pela diferença de quocientes
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
e quer que você calcule f'(3) para
f(x)=raiz[3]x=x^1/3
Então o conteúdo é derivada pela definição de limite e, na prática, a gente vai ter que manipular um limite que dá indeterminação 0/0. Para resolver isso sem pular etapas, vamos usar a fatoração de diferença de cubos:
u^3 - v^3 = (u - v),(u^2 + u,v + v^2)

Passo 2

Escrever o quociente de diferença
Pelo enunciado,
f'(3)=limhto0f(3+h)-f(3)h
Como f(x)=x^1/3, temos
f(3+h)=(3+h)^1/3, f(3)=3^1/3
Logo o quociente vira
f(3+h)-f(3)h =(3+h)^1/3-3^1/3h
Se a gente tentar pôr h=0 aqui, dá tfrac00, que é indeterminado. Então bora manipular algebricamente.

Passo 3

Usar a fatoração de diferença de cubos
Chama
u=(3+h)^1/3, v=3^1/3
Então u^3-v^3=(3+h)-3=h. Pela fatoração:
u-v=u^3-v^3u^2+u,v+v^2 =h(3+h)^2/3+(3+h)^1/3,3^1/3+3^2/3
Substituindo de volta no quociente,
(3+h)^1/3-3^1/3h =u-vh =1(3+h)^2/3+(3+h)^1/3,3^1/3+3^2/3

Passo 4

Calcular o limite
Agora é tranquilo, basta hto0:
(3+h)^2/3to3^2/3, (3+h)^1/3,3^1/3to3^1/3,3^1/3=3^2/3
Então o denominador vira
3^2/3+3^2/3+3^2/3=3cdot3^2/3=3^1+2/3=3^5/3
Logo
f'(3)=limhto01(3+h)^2/3+(3+h)^1/3,3^1/3+3^2/3 =13^5/3

Resposta

boxedf'(3)=13^5/3

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