Considerando que existe
calcule:
, se
Passo 1
Resumo do que a questão pede e o que vamos usar
A questão te dá a definição de derivada pela diferença de quocientes
A questão te dá a definição de derivada pela diferença de quocientes
e quer que você calcule
para
Então o conteúdo é derivada pela definição de limite e, na prática, a gente vai ter que manipular um limite que dá indeterminação
. Para resolver isso sem pular etapas, vamos usar a fatoração de diferença de cubos:
Passo 2
Escrever o quociente de diferença
Pelo enunciado,
Pelo enunciado,
Como
, temos
Logo o quociente vira
Se a gente tentar pôr
aqui, dá
, que é indeterminado. Então bora manipular algebricamente.
Passo 3
Usar a fatoração de diferença de cubos
Chama
Chama
Então
. Pela fatoração:
Substituindo de volta no quociente,
Passo 4
Calcular o limite
Agora é tranquilo, basta :
Agora é tranquilo, basta
Então o denominador vira
Logo