Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0^+ x^1 ln x

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0^+ x^1ln x,
que é uma forma do tipo f(x)^g(x). Para esse tipo de limite, a técnica é usar a reescrita
x^1ln x=expl(lnl(x^1ln xr)r)
e, se necessário, aplicar a regra de L’Hôpital no expoente.

Passo 2

Definimos
y = x^1ln x
e tomamos logaritmo natural em ambos os lados, ficando
ln y = ln!l(x^tfrac1ln xr) = ln xln x
Note que, quando xto 0^+, temos ln xto -infty, então o quociente tfracln xln x é da forma tfrac-infty-infty.

Passo 3

Para calcular
limxto 0^+ ln y =limxto 0^+ ln xln x,
aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
numerador' = ddx(ln x)=1x, denominador' = ddx(ln x)=1x
Logo, pelo L’Hôpital,
limxto 0^+ ln xln x =limxto 0^+ tfrac1xtfrac1x=1
Isso significa que ln yto 1.

Passo 4

Como ln yto 1, temos
y = exp(ln y)to exp(1)=e

Resposta

limxto 0^+x^1ln x = e

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