Considerando que existe f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h calcule:
f^prime(1), se f(x)=lx^2+1, se x<1 1+2 x, se x >= 1 ;

Passo 1

O enunciado dá a definição de derivada
f'(a) = limh to 0f(a+h)-f(a)h
e a função
f(x)= x^2+1, & x<1, 1+2x, & x>=1
Queremos f'(1). Para existir f'(1), a função tem de ser contínua em x=1 e os limites laterais do quociente incremental têm de coincidir.

Passo 2

Verificamos primeiro a continuidade em x=1. O valor de f em 1 é, pela definição do ramo x>=1:
f(1)=1+2cdot1=3
O limite à esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-(x^2+1)=1^2+1=2
Como 2neq3, a função não é contínua em x=1.

Passo 3

Uma função descontínua em um ponto não pode ter derivada finita ali. Ainda assim, podemos ver os diferenciais laterais para reforçar:
Lateral esquerda ( hto0^-):
Para h<0, 1+h<1 e
f(1+h)-f(1)h =l((1+h)^2+1r)-3h =1+2h+h^2+1-3h =-1+2h+h^2h =-1h+2+h
Quando hto0^-, -1/hto+infty, logo o limite não existe (fica infinito).
Lateral direita ( hto0^+):
Para h>0, 1+h>=1 e
f(1+h)-f(1)h =l(1+2(1+h)r)-3h =3+2h-3h =2
Aqui o limite é 2.

Passo 4

Os dois limites laterais são diferentes (um é infinito e o outro é 2) e, além disso, a função nem é contínua em x=1. Portanto a derivada em 1 não existe.

Resposta

f'(1) não existe.

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