Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0(e^x^2 / 2 cos x)^4 / x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx 0l(e^x^2/2cos xr)^4/x^2,
utilizando, se necessário, a regra de L’Hôpital. Vamos usar a técnica de transformar em exponencial para isolar um limite do tipo 0/0.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural à expressão para obter
limxto0l(e^x^2/2cos xr)^4/x^2 = exp!l(limxto04ln!l(e^x^2/2cos xr)x^2r)
Definimos então
L = limxto04ln!l(e^x^2/2cos xr)x^2

Passo 3

Escrevemos
L = 4,limxto0ln!l(e^x^2/2cos xr)x^2,
onde o quociente
ln(e^x^2/2cos x)x^2
é do tipo 0/0, permitindo o uso de L’Hôpital.

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital,
limxto0ln!l(e^x^2/2cos xr)x^2 = limxto0ddxln!l(e^x^2/2cos xr)ddx(x^2) = limxto0x-tan x2x,
pois
ddxln!l(e^x^2/2cos xr) =e^x^2/2(xcos x-sin x)e^x^2/2cos x =x-tan x,
e ddx(x^2)=2x.

Passo 5

Agora avaliamos
limxto0x-tan x2x
Para pequenos x, tan x = x + tfracx^33+O(x^5), logo o numerador ,x-tan x = -tfracx^33+O(x^5) e
x-tan x2x = -x^26+O(x^4) ;longrightarrow; 0
Portanto
limxto0ln(e^x^2/2cos x)x^2=0
e assim
,L=4cdot 0=0.

Passo 6

Como
limxto0l(e^x^2/2cos xr)^4/x^2 =exp(L) =exp(0)=1,
concluímos o valor do limite.

Resposta

1

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