Considerando que existe f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h calcule:
f^prime(0), se f(x)=arcsen(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=arcsin(x) no ponto a=0 usando a definição
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
Aqui o conteúdo envolvido é a derivada de função inversa e o uso da regra de l’Hôpital para indeterminações do tipo tfrac00.

Passo 2

Aplicando a definição em a=0, temos
f'(0) =limhto0arcsin(0+h)-arcsin(0)h =limhto0arcsin(h)h

Passo 3

O limite acima é do tipo tfrac00, então usamos a regra de l’Hôpital:
limhto0arcsin(h)h =limhto0dfracddhl[arcsin(h)r]dfracddh[h] =limhto0tfrac1raiz1-h^21 =1raiz1-0^2 =1

Resposta

f'(0)=1

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