Considerando que existe f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h calcule:
f^prime(2), se f(x)=cx^3+2 x , se x <= 0, x^2, se x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a definição de derivada
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
e a função por partes
f(x)= x^3+2x,&x<=0, x^2,&x>0
Queremos calcular f'(2).

Passo 2

Como 2>0, para x próximos de 2 tanto pela esquerda quanto pela direita usamos a fórmula f(x)=x^2. Ou seja, num intervalo aberto contendo x=2 só vale o ramo x^2.

Passo 3

Usamos a definição de derivada em a=2:
f'(2) =limhto0f(2+h)-f(2)h =limhto0(2+h)^2-2^2h =limhto04+4h+h^2-4h =limhto04h+h^2h =limhto0(4+h) =4

Resposta

f'(2)=4

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