Determine, através da definição de derivada, f^prime(x), se:
f(x)=raiz[4]x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=raiz[4]x=x^1/4 usando a definição de derivada
O conteúdo que vamos usar é a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
e uma identidade algébrica para racionalizar a diferença de radicais.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença para f(x)=x^1/4:
f(x+h)-f(x)h =(x+h)^1/4-x^1/4h

Passo 3

Para eliminar a raiz no numerador, usamos a identidade
a-b=a^4-b^4a^3+a^2b+ab^2+b^3,
com a=(x+h)^1/4 e b=x^1/4. Então
(x+h)^1/4-x^1/4 =(x+h)-x(x+h)^3/4+(x+h)^2/4x^1/4+(x+h)^1/4x^2/4+x^3/4 =h(x+h)^3/4+(x+h)^1/2x^1/4+(x+h)^1/4x^1/2+x^3/4

Passo 4

Substituindo no quociente de diferença, obtemos
(x+h)^1/4-x^1/4h =hhl[(x+h)^3/4+(x+h)^1/2x^1/4+(x+h)^1/4x^1/2+x^3/4r] =1(x+h)^3/4+(x+h)^1/2x^1/4+(x+h)^1/4x^1/2+x^3/4

Passo 5

Agora fazemos o limite quando hto0. Cada termo com x+h tende ao respectivo termo com x:
limhto0l[(x+h)^3/4+(x+h)^1/2x^1/4+(x+h)^1/4x^1/2+x^3/4r] =4,x^3/4
Logo
f'(x) =limhto01(x+h)^3/4+(x+h)^1/2x^1/4+(x+h)^1/4x^1/2+x^3/4 =14,x^3/4

Resposta

f'(x)=14,x^3/4

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