Considerando
, determine:
a)
b)
e
c) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto
d) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.
a)
b)
c) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto
d) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = 3x^2 - 12x + 8 $. O que a questão pede é para a gente calcular a derivada dessa função e utilizar essa derivada em diferentes situações. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada na matemática. A derivada basicamente nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, ela nos diz como a função está “subindo” ou “descendo” em cada ponto.
Passo 2
a) $ f^{\prime}(x) $
Vamos encontrar a derivada de $ f(x) $. Para derivar, a gente aplica algumas regras básicas:
Vamos encontrar a derivada de $ f(x) $. Para derivar, a gente aplica algumas regras básicas:
- A derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
- A derivada de uma constante é 0.
Aplicando isso na função:
Derivando termo a termo:
- Derivada de $ 3x^2 $ é $ 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x $
- Derivada de $ -12x $ é $ -12 \cdot 1x^{1-1} = -12 $
- Derivada de $ 8 $ é 0
Então:
Passo 3
b) $ f^{\prime}(4) $ e $ f^{\prime}(-2) $
Agora que temos a derivada $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $, vamos calcular para $ x = 4 $ e $ x = -2 $.
Agora que temos a derivada $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $, vamos calcular para $ x = 4 $ e $ x = -2 $.
Para $ x = 4 $:
Para $ x = -2 $:
Passo 4
c) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto $ P(3, -1) $
O coeficiente angular da reta tangente em um ponto é exatamente o valor da derivada nesse ponto. Vamos usar a derivada que encontramos $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $ e calcular em $ x = 3 $.
O coeficiente angular da reta tangente em um ponto é exatamente o valor da derivada nesse ponto. Vamos usar a derivada que encontramos $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $ e calcular em $ x = 3 $.
Então, o coeficiente angular é 6.
Passo 5
d) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.
Quando a reta tangente é horizontal, isso significa que o coeficiente angular é 0. Então, vamos encontrar $ x $ tal que $ f^{\prime}(x) = 0 $.
Quando a reta tangente é horizontal, isso significa que o coeficiente angular é 0. Então, vamos encontrar $ x $ tal que $ f^{\prime}(x) = 0 $.
Resolvendo para $ x $:
Agora, para encontrar o ponto, substituímos $ x = 2 $ na função original $ f(x) $:
Então, o ponto é $ (2, -4) $.
Resposta
a) $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $
b) $ f^{\prime}(4) = 12 $ e $ f^{\prime}(-2) = -24 $
c) O coeficiente angular é 6
d) A tangente é horizontal no ponto $ (2, -4) $
b) $ f^{\prime}(4) = 12 $ e $ f^{\prime}(-2) = -24 $
c) O coeficiente angular é 6
d) A tangente é horizontal no ponto $ (2, -4) $