Considerando f(x)=3 x^2-12 x+8, determine:
a) f^prime(x)
b) f^prime(4) e f^prime(-2)
c) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto P(3,-1)
d) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = 3x^2 - 12x + 8 $. O que a questão pede é para a gente calcular a derivada dessa função e utilizar essa derivada em diferentes situações. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada na matemática. A derivada basicamente nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, ela nos diz como a função está “subindo” ou “descendo” em cada ponto.

Passo 2

a) $ f^{\prime}(x) $
Vamos encontrar a derivada de $ f(x) $. Para derivar, a gente aplica algumas regras básicas:
  • A derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
  • A derivada de uma constante é 0.
Aplicando isso na função:
f^prime(x)
Derivando termo a termo:
  • Derivada de $ 3x^2 $ é $ 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x $
  • Derivada de $ -12x $ é $ -12 \cdot 1x^{1-1} = -12 $
  • Derivada de $ 8 $ é 0
Então:
f(x)

Passo 3

b) $ f^{\prime}(4) $ e $ f^{\prime}(-2) $
Agora que temos a derivada $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $, vamos calcular para $ x = 4 $ e $ x = -2 $.
Para $ x = 4 $:
f^prime(4)
Para $ x = -2 $:
f^prime(-2)

Passo 4

c) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto $ P(3, -1) $
O coeficiente angular da reta tangente em um ponto é exatamente o valor da derivada nesse ponto. Vamos usar a derivada que encontramos $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $ e calcular em $ x = 3 $.
P(3, -1)
Então, o coeficiente angular é 6.

Passo 5

d) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal.
Quando a reta tangente é horizontal, isso significa que o coeficiente angular é 0. Então, vamos encontrar $ x $ tal que $ f^{\prime}(x) = 0 $.
x
Resolvendo para $ x $:
f^prime(x) = 0
Agora, para encontrar o ponto, substituímos $ x = 2 $ na função original $ f(x) $:
6x - 12 = 0
Então, o ponto é $ (2, -4) $.

Resposta

a) $ f^{\prime}(x) = 6x - 12 $
b) $ f^{\prime}(4) = 12 $ e $ f^{\prime}(-2) = -24 $
c) O coeficiente angular é 6
d) A tangente é horizontal no ponto $ (2, -4) $

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