Exercício 1 - Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
f(x)=-2(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para a função racional
f(x) = -2(x-1)^2
a) determinar o domínio;
b) determinar o conjunto-imagem;
c) esboçar o gráfico, identificando assíntotas.
O conteúdo principal envolve estudo de domínio (zeros do denominador), assíntotas verticais e horizontais e análise de sinais/limites.

Passo 2

O domínio de f é o conjunto de todos os x tais que o denominador não se anule. Como
(x-1)^2=0Long<=ftrightarrow x=1,
o domínio é
mathopDom(f)=(-infty,1)cup(1,infty)

Passo 3

Para achar as assíntotas:
– Assíntota vertical ocorre onde xto1, pois o denominador vai a zero. Logo x=1.
– Assíntota horizontal vem do limite em infinito:
limxtopminftyf(x) =limxtopminftyl(-2(x-1)^2r)=0,
então y=0.

Passo 4

Estudo de limites e sinais:
– Para todo xneq1, (x-1)^2>0, então -2/(x-1)^2<0. A função fica sempre abaixo do eixo x.
– Próximo a x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=-infty,
então ambas as “pontas” caem para -infty na reta x=1.
– Para xtopminfty, f(x)to0^-, aproximando-se da assíntota horizontal por baixo.

Passo 5

Como f(x) atinge todos os valores negativos arbitrariamente grandes em magnitude, mas nunca chega a 0 nem a valor positivo, o conjunto-imagem é
Im(f)=(-infty,0)
O gráfico tem duas “curvas” simétricas em relação à reta x=1, sempre abaixo do eixo x, com assíntotas x=1 e y=0.

Resposta

Domínio: ,(-infty,1)cup(1,infty).
Imagem: (-infty,0).
Gráfico: duas ramas abaixo do eixo x, com assíntota vertical x=1 e horizontal y=0.

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