Exercício 1 - Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
Passo 1
O enunciado pede para a função racional
a) determinar o domínio;
b) determinar o conjunto-imagem;
c) esboçar o gráfico, identificando assíntotas.
O conteúdo principal envolve estudo de domínio (zeros do denominador), assíntotas verticais e horizontais e análise de sinais/limites.
b) determinar o conjunto-imagem;
c) esboçar o gráfico, identificando assíntotas.
O conteúdo principal envolve estudo de domínio (zeros do denominador), assíntotas verticais e horizontais e análise de sinais/limites.
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de todos os
tais que o denominador não se anule. Como
o domínio é
Passo 3
Para achar as assíntotas:
– Assíntota vertical ocorre onde , pois o denominador vai a zero. Logo
.
– Assíntota horizontal vem do limite em infinito:
– Assíntota vertical ocorre onde
– Assíntota horizontal vem do limite em infinito:
então
.
Passo 4
Estudo de limites e sinais:
– Para todo ,
, então
. A função fica sempre abaixo do eixo
.
– Próximo a :
– Para todo
– Próximo a
então ambas as “pontas” caem para
na reta
.
– Para ,
, aproximando-se da assíntota horizontal por baixo.
– Para
Passo 5
Como
atinge todos os valores negativos arbitrariamente grandes em magnitude, mas nunca chega a 0 nem a valor positivo, o conjunto-imagem é
O gráfico tem duas “curvas” simétricas em relação à reta
, sempre abaixo do eixo
, com assíntotas
e
.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Gráfico: duas ramas abaixo do eixo , com assíntota vertical
e horizontal
.
Imagem:
Gráfico: duas ramas abaixo do eixo