Um filtro passa-baixas não ideal possui resposta ao impulso h(t)=e^-3|t|.
Determine a frequência de corte omegac desse filtro considerando o critério de -3 dB .

Passo 1

O enunciado pede a frequência de corte omegac de um filtro passa-baixas não ideal cuja resposta ao impulso é h(t)=e^-3|t|, usando o critério de –3 dB (meia potência). Vamos precisar da transformada de Fourier de h(t) e do conceito de ponto –3 dB, onde a magnitude cai para 1/raiz2 de seu valor máximo.

Passo 2

Para encontrar a resposta em frequência H(jomega), usamos a definição
H(jomega)=integral-infty^inftye^-3|t|e^-jomega t,dt
Como e^-3|t| é par, isso resulta em
H(jomega)=13+jomega+13-jomega=2cdot39+omega^2=69+omega^2

Passo 3

A magnitude da resposta em frequência é
|H(jomega)|=69+omega^2
Em omega=0 (DC), o ganho máximo é
|H(0)|=69=23

Passo 4

O critério de –3 dB diz que na frequência de corte omegac temos
|H(jomegac)|=|H(0)|raiz2=2/3raiz2=23raiz2
Então montamos a equação:
69+omegac^2=23raiz2

Passo 5

Resolvendo para omegac:
6=23raiz2(9+omegac^2)
6cdot3raiz2/2=9+omegac^2
9raiz2=9+omegac^2
omegac^2=9(raiz2-1)
omegac=3raizraiz2-1approx1,93 rad/s

Resposta

omegac=3raizraiz2-1approx1,93 rad/s

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