Considerando a função abaixo com o deslocamento ao longo do eixo x
(a) encontre a velocidade
em termos de t em qualquer momento; (b) encontre a aceleração
em termos de
em qualquer momento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que descreve o deslocamento ao longo do eixo x, que é dada por
. A matéria envolvida aqui é a cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver essa questão, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos permite encontrar a velocidade e a aceleração a partir da função de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. Na cinemática, a velocidade é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada da função de posição
em relação a
. Matemáticamente, isso é representado como:
Vamos calcular essa derivada:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
(constante) em relação a é 0.
Então, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada da função de posição
, ou a primeira derivada da função de velocidade
. Matematicamente:
Usando a expressão que encontramos para
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é 0.
Então, a aceleração fica:
Resposta
(a) A velocidade em qualquer momento
é
.
(b) A aceleração em qualquer momento
é
.