Considerando a função abaixo com o deslocamento ao longo do eixo x
x(t)=a t^2+b t+c
(a) encontre a velocidade v(t) em termos de t em qualquer momento; (b) encontre a aceleração a(t) em termos de t em qualquer momento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que descreve o deslocamento ao longo do eixo x, que é dada por . A matéria envolvida aqui é a cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver essa questão, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos permite encontrar a velocidade e a aceleração a partir da função de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) = dx(t)dt . Na cinemática, a velocidade é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada da função de posição x(t) = a t^2 + b t + c em relação a v(t) = 2a t + b . Matemáticamente, isso é representado como:
Vamos calcular essa derivada:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de (constante) em relação a é 0.
Então, a velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dv(t)dt . A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada da função de posição v(t) = 2a t + b , ou a primeira derivada da função de velocidade a(t) = 2a . Matematicamente:
Usando a expressão que encontramos para :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de é 0.
Então, a aceleração fica:

Resposta

(a) A velocidade em qualquer momento é .
(b) A aceleração em qualquer momento é .

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