Uma pedra é lançada para cima do topo de um edifício a um ângulo de 30,0^circ na horizontal, com velocidade inicial de 20,0 m/s. (a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? (b) Qual é a velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O problema fala sobre uma pedra que é lançada para cima do topo de um edifício com uma certa velocidade e ângulo. A gente vai precisar usar conceitos de Movimento Projetil da física. Para resolver isso, vamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente variado (MUV) para encontrar o tempo que a pedra leva para atingir o solo e a velocidade dela no impacto.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. A velocidade inicial ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) é de 20,0 m/s e o ângulo de lançamento ( v0y = v0 cdot sin(theta) ) é de v0x = 20,0 , m/s cdot cos(30^circ) approx 20,0 cdot 0,8660 approx 17,32 , m/s .
A componente horizontal da velocidade ( v0y = 20,0 , m/s cdot sin(30^circ) approx 20,0 cdot 0,5 = 10,0 , m/s ) é dada por:
E a componente vertical da velocidade ( ) é:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical da pedra. Sabemos que a pedra vai subir, parar e depois descer até o solo. Para encontrar o tempo total de voo, precisamos considerar a posição vertical da pedra em relação ao tempo.
A equação da posição vertical ( y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 ) em função do tempo ( 0 = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 ) é:
12 g t^2 - v0y cdot t - y0 = 0
Onde:
  • t = v0y + raizv0y^2 + 2 g y0g é a altura do edifício.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
No entanto, o enunciado não nos dá a altura do edifício ( ). Vamos assumir que o ponto de referência ( ) é o nível do solo, então representa a altura do edifício.
Vamos resolver para o tempo quando a pedra atinge o solo ( ):
Essa é uma equação quadrática na forma:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Escolhemos a solução positiva porque o tempo não pode ser negativo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo. A velocidade vertical no impacto ( vfy = v0y - g t ) pode ser encontrada usando a equação:
vfx = v0x
A velocidade horizontal ( vf = raizvfx^2 + vfy^2 ) permanece constante durante todo o movimento, já que não há aceleração horizontal (ignorando a resistência do ar):
A velocidade total no impacto ( ) é a combinação das componentes horizontal e vertical:

Resposta

Sem o valor da altura do edifício ( t = v0y + raizv0y^2 + 2 g y0g ), não podemos calcular os valores numéricos exatos para o tempo de queda e a velocidade no impacto. Contudo, as fórmulas para resolver o problema são:
(a) O tempo para a pedra atingir o solo é:
vf = raizv0x^2 + (v0y - g t)^2
(b) A velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo é:
Substituindo os valores conhecidos e a altura do edifício ( ), você pode calcular as respostas numéricas.

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