Uma pequena esfera de massa m está presa à ponta de uma corda de comprimento R e posta em movimento em um círculo vertical ao redor de um ponto fixo O. Determine a aceleração tangencial da esfera e a tensão na corda a qualquer instante quando a velocidade da esfera é v e a corda faz um ângulo
com a vertical.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma pequena esfera de massa
presa a uma corda de comprimento
, movendo-se em um círculo vertical. A gente precisa descobrir duas coisas: a aceleração tangencial da esfera (
) e a tensão na corda (
) em qualquer instante, quando a velocidade da esfera é
e a corda forma um ângulo
com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e decomposição de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a aceleração tangencial (
). Em um movimento circular, a aceleração total possui duas componentes: a aceleração centrípeta (
) que puxa para o centro do círculo, e a aceleração tangencial (
) que está na direção do movimento, indicando se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
A aceleração centrípeta é dada por:
Isso porque ela depende da velocidade (
) e do raio do círculo (
).
Passo 3
Agora, para achar a aceleração tangencial (
), precisamos considerar a variação da velocidade. Se a velocidade
está mudando, então há uma aceleração tangencial. A relação entre a aceleração total (
), a centrípeta e a tangencial é dada por:
Mas, no caso do exercício, não foi dada diretamente a variação da velocidade, então vamos considerar que a única aceleração sendo pedida é a relacionada à mudança da velocidade, ou seja,
.
Sem mais informações sobre como
varia com o tempo, podemos assumir que
é a componente da aceleração total na direção do movimento. Porém, se não houver variação na velocidade,
seria zero. Como o problema pede para determinar
, vamos supor que há uma variação e precisaríamos de mais dados para calcular numericamente. Então, neste contexto, a aceleração tangencial dependeria da taxa de variação de
.
Passo 4
Agora, vamos para a tensão na corda (
). A corda está sujeita a duas forças principais: a componente da tensão que fornece a aceleração centrípeta e a força da gravidade que puxa a esfera para baixo. Vamos decompor a tensão na corda nas direções radial e vertical.
A componente radial da tensão é responsável por fornecer a aceleração centrípeta:
E a componente vertical equilibra a força da gravidade:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Para encontrar a tensão
, vamos usar a relação das componentes que acabamos de estabelecer. Podemos dividir as duas equações para eliminar
:
Simplificando:
Mas para encontrar
, vamos usar a primeira equação:
Ou seja:
Resposta
A aceleração tangencial da esfera é
(dependendo da variação de
) e a tensão na corda é: