Uma pequena bola de massa m é suspensa por um barbante de comprimento L. A bola gira com velocidade constante v em um círculo horizontal de raio r. (Como o barbante passa por toda a superfície de um cone, o sistema é chamado de pêndulo cônico.) Encontre uma expressão para v.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma bola pequenininha com massa m presa por um barbante de comprimento L. Essa bola está girando em um círculo horizontal com velocidade constante v e raio r. Esse sistema é chamado de pêndulo cônico. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a velocidade v. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física, especialmente as forças envolvidas no movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as forças atuando na bola. Existem duas forças principais: a força da gravidade (mg) que puxa a bola para baixo, e a tensão no barbante (T) que tem duas componentes: uma vertical que equilibra a força da gravidade e outra horizontal que fornece a força centrípeta necessária para manter a bola em movimento circular.

Passo 3

Vamos decompor a tensão T no barbante em suas componentes vertical (T_y) e horizontal (T_x). A componente vertical é igual à força da gravidade:
Ty = T cdot cos(theta) = mg
A componente horizontal fornece a força centrípeta (F_c):
Tx = T cdot sin(theta) = mv^2r

Passo 4

Precisamos relacionar o ângulo θ com os comprimentos dados. Sabemos que o raio r do círculo que a bola descreve está relacionado ao comprimento do barbante L e ao ângulo θ pela fórmula:
r = L cdot sin(theta)
Isso nos ajuda a expressar T em termos de mg e v.

Passo 5

Dividindo a equação da componente horizontal pela vertical, temos:
TxTy = mv^2rmg = v^2gr = tan(theta)
Portanto:
v^2 = g r cdot tan(theta)

Passo 6

Agora, usando a relação entre r, L e θ:
tan(theta) = rraizL^2 - r^2
Substituindo na equação de :
v^2 = g r cdot rraizL^2 - r^2 = g r^2raizL^2 - r^2

Passo 7

Finalmente, isolando v, temos:
Mas para simplificar, mantemos a expressão anterior:
v = raizg r^2raizL^2 - r^2 = r raizg(L^2 - r^2)^1/4

Resposta

A velocidade v da bola é dada por:
v = raizg r^2raizL^2 - r^2

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