Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=2 x^2+4 x2+x^2 no intervalo [-1,5];

Passo 1

Temos a função
f(x)=2x^2+4x2+x^2
no intervalo [-1,5]. Para determinar os extremos globais em um intervalo fechado, seguimos estes passos: (i) calcular a derivada f'(x), (ii) encontrar os pontos críticos onde f'(x)=0, (iii) avaliar f nesses pontos críticos e nas extremidades do intervalo, e (iv) comparar os valores obtidos.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente com u=2x^2+4x e v=2+x^2,
f'(x)=u'v-uv'v^2 =(4x+4)(2+x^2)-(2x^2+4x)(2x)(2+x^2)^2
Desenvolvendo o numerador:
(4x+4)(2+x^2)=4x^3+4x^2+8x+8, (2x^2+4x)(2x)=4x^3+8x^2,
logo
f'(x)=-4x^2+8x+8(2+x^2)^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
-4x^2+8x+8=0 ;Longrightarrow; x^2-2x-2=0 ;Longrightarrow; x=1pmraiz3
Ambos 1-raiz3 e 1+raiz3 estão em [-1,5].

Passo 4

Avaliamo-mos f em x=-1, x=5, x=1-raiz3 e x=1+raiz3:
f(-1)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)2+(-1)^2 =2-43=-23approx -0,6667,
f(5)=2cdot25+4cdot52+25 =7027approx 2,5926,
f(1-raiz3) =1-raiz3approx -0,7320, f(1+raiz3) =1+raiz3approx 2,7320

Passo 5

Comparando os valores, o menor é
,f(1-raiz3)=1-raiz3
e o maior é
,f(1+raiz3)=1+raiz3.

Resposta

O mínimo global ocorre em x=1-raiz3 e vale 1-raiz3.
O máximo global ocorre em x=1+raiz3 e vale 1+raiz3.

Exercícios relacionados