Considerando a função definida logo abaixo, responda as questões 2 a 4, usando o espaço reservado na própria questão.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} ; & x<-1 \\-x+1 ; & -1 \leq x<1 \\ log x ; & x>1\end{array}\right.
Conforme a definição de função contínua em um ponto e função contínua no seu domínio, complete corretamente as lacunas a seguir com uma das expressões é ou não é.
A função f(x) \square contínua no seu domínio.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2},&x<-1,\\\\ -\,x+1,&-1\le x<1,\\\ \log x,&x>1, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em todo ponto de seu domínio. Lembrando que dizer “ f é contínua no seu domínio” significa que f deve ser contínua em cada ponto onde está definida.

Passo 2

Para qualquer ponto interior de cada ramo (isto é, x<-1, -1<x<1 e x>1), a função é dada por x^{2}, -x+1 ou \log x, todas funções conhecidas por serem contínuas em seus domínios naturais. Logo, não há problema de continuidade em pontos estritamente dentro de cada intervalo.

Passo 3

Falta checar as fronteiras internas do domínio, no caso x=-1 (o ponto x=1 não pertence ao domínio). Em x=-1 temos
- limite pela esquerda:
\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}x^{2}=(-1)^{2}=1,
- valor em -1:
f(-1)=-(-1)+1=2,
- limite pela direita:
\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}(-x+1)=2.
Como o limite pela esquerda (que é 1) difere de f(-1) (que é 2), f não é contínua em x=-1.

Resposta

A função f(x) não é contínua no seu domínio.

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