Considerando a função f(x)=x^3-x-1, faça o que se pede: Iniciando do mesmo valor x0 utilizado no item b ), realize 3 iterações do método de Newton e forneça uma estimativa de seu erro.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aplicar o método de Newton na função
f(x)=x^3 - x - 1
partindo do mesmo chute inicial x0 = 1,5 que foi usado no item (b). Geralmente, nesse tipo de questão, o aluno usa o ponto médio do intervalo onde a raiz está — aqui sabemos que a raiz real fica entre 1 e 2, então o chute padrão é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
Conteúdo: método de Newton (iterações de
com ). Vamos precisar calcular , e iterar 3 vezes.

Passo 2

Cálculo de f'(x)=3x^2 -1 :
  1. Derivada:
f(1,5)=1,5^3 -1,5 -1 =3,375 -2,5 =0,875,
  1. Avaliando em f'(1,5)=3cdot(1,5)^2 -1 =3cdot2,25 -1 =6,75 -1 =5,75 :
x1 = 1,5 - 0,8755,75 approx 1,5 - 0,15217 = 1,34783
  1. Fórmula de Newton:

Passo 3

Cálculo de f(1,34783)approx (1,34783)^3 -1,34783 -1 approx 2,44917 -1,34783 -1 =0,10134, :
  1. Avaliando em f'(1,34783)approx 3cdot(1,34783)^2 -1 =3cdot1,81710 -1 =5,45130 -1 =4,45130 :
x2 = 1,34783 - 0,101344,45130 approx 1,34783 - 0,02277 = 1,32506
  1. Nova iteração:

Passo 4

Cálculo de f(1,32506)approx (1,32506)^3 -1,32506 -1 approx 2,32721 -1,32506 -1 =0,00215, :
  1. Avaliando em f'(1,32506)approx 3cdot(1,32506)^2 -1 =3cdot1,75678 -1 =5,27034 -1 =4,27034 :
x3 = 1,32506 - 0,002154,27034 approx 1,32506 - 0,00050 = 1,32456
  1. Mais uma passada de Newton:

Passo 5

Estimativa do erro: como a gente não sabe a raiz exata, costuma-se usar
|x3 - x2|approx |1,32456 - 1,32506| = 0,00050 approx 5,0times10^-4

Resposta

Após 3 iterações de Newton a partir de x3 approx 1,32456, , obtemos
|x3 - x2|approx5,0times10^-4
com estimativa de erro

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