Mostre que para qualquer
, o método de Newton obtém a raiz exata de uma função afim
.
Passo 1
Beleza! Então o enunciado manda provar que, para qualquer ponto inicial
, o método de Newton pega de primeira a raiz exata de uma função afim
Isso cai dentro de Cálculo Numérico, mais especificamente na técnica do Método de Newton para achar raízes.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A definição do Método de Newton:
- Saber derivar nossa função afim.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria: o Método de Newton parte de um chute
e “corrige” usando a reta tangente à curva em
. A fórmula é
A derivada de
é bem simples, pois é uma função linear. Temos
Passo 3
Agora, vamos aplicar direto no nosso
.
- Calcula
: - Calcula
: - Usa a fórmula de Newton para obter
:
Passo 4
Agora é só simplificar essa expressão:
Repara que isso não depende de
! Mesmo que você comece de onde for, em uma única iteração você cai na raiz exata.
Resposta
O Método de Newton, aplicado a
, chega à raiz exata
já na primeira iteração, independentemente do chute inicial
.