Mostre que para qualquer x0=a in R, o método de Newton obtém a raiz exata de uma função afim f(x)=m cdot x+n.

Passo 1

Beleza! Então o enunciado manda provar que, para qualquer ponto inicial f(x) = m x + n , o método de Newton pega de primeira a raiz exata de uma função afim
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
Isso cai dentro de Cálculo Numérico, mais especificamente na técnica do Método de Newton para achar raízes.
O que vamos precisar:
  • A definição do Método de Newton:
  • Saber derivar nossa função afim.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria: o Método de Newton parte de um chute xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) e “corrige” usando a reta tangente à curva em f'(x) = m (constante!) . A fórmula é
A derivada de é bem simples, pois é uma função linear. Temos

Passo 3

Agora, vamos aplicar direto no nosso f(a) = mcdot a + n .
  1. Calcula f'(a) = m : x1 = a ;-;f(a)f'(a) = a ;-;m,a + nm
  2. Calcula :
  3. Usa a fórmula de Newton para obter :

Passo 4

Agora é só simplificar essa expressão:
x1 = a - m,a + nm = a - (m,am + nm) = a - l(a + nmr) = -,nm
Repara que isso não depende de ! Mesmo que você comece de onde for, em uma única iteração você cai na raiz exata.

Resposta

O Método de Newton, aplicado a x^* = -nm , chega à raiz exata
já na primeira iteração, independentemente do chute inicial .

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