Considerando a função do Movimento Harmônico Simples (MHS)
x(t)=x_{m} \cos (\omega t+\varphi)
mostre que
a) \quad v(t)=\frac{d}{d t} x(t)=-\omega x_{m} \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)
b) \quad a(t)=\frac{d}{d t} v(t)=-\omega^{2} x_{m} \cos (\omega t+\varphi)

Passo 1

O enunciado dá o Movimento Harmônico Simples
x(t)=x_{m}\cos(\omega t+\varphi)
e pede a velocidade v(t)=\frac{d}{dt}x(t) e a aceleração a(t)=\frac{d}{dt}v(t).
Vamos usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de \cos e \sin.

Passo 2

Para calcular
v(t)=\frac{d}{dt}x(t) =\frac{d}{dt}\bigl[x_{m}\cos(\omega t+\varphi)\bigr],
aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\cos(\omega t+\varphi) =-\sin(\omega t+\varphi)\,\frac{d}{dt}(\omega t+\varphi).
Como \frac{d}{dt}(\omega t+\varphi)=\omega, segue
v(t) = x_{m}\,\bigl[-\sin(\omega t+\varphi)\bigr]\cdot\omega = -\omega\,x_{m}\,\sin(\omega t+\varphi).

Passo 3

Para calcular
a(t)=\frac{d}{dt}v(t) =\frac{d}{dt}\bigl[-\omega\,x_{m}\sin(\omega t+\varphi)\bigr],
novamente usamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\sin(\omega t+\varphi) =\cos(\omega t+\varphi)\,\frac{d}{dt}(\omega t+\varphi) =\omega\,\cos(\omega t+\varphi).
Portanto
a(t) = -\omega\,x_{m}\,\bigl[\cos(\omega t+\varphi)\bigr]\cdot\omega = -\omega^{2}\,x_{m}\,\cos(\omega t+\varphi).

Resposta

v(t)=-\omega\,x_{m}\,\sin(\omega t+\varphi) a(t)=-\omega^{2}\,x_{m}\,\cos(\omega t+\varphi)

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