Considere uma linha infinita com 3,0 A de corrente ao longo do eixo z no espaço livre. Encontre o fluxo magnético que atravessa uma superfície definida por 1,0 \mathrm{~m} \leq \rho<4,0 \mathrm{~m}, 0<z<3,0 \mathrm{~m}, \varphi=90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma corrente constante I=3{,}0\\ \mathrm{A} ao longo do eixo z num meio livre e pede o fluxo magnético através da superfície que em coordenadas cilíndricas é
1{,}0\le\rho\le4{,}0,\quad 0\le z\le3{,}0,\quad \varphi=90^\circ.
Esse é um retângulo no plano \varphi=90^\circ (plano x=0, y>0), de altura 3{,}0 em z e largura 4-1=3 em \rho. Para resolver, vamos precisar de:
  1. A expressão do campo magnético \mathbf B de um fio infinito (Lei de Ampère).
  2. A parametrização da superfície e a escolha do vetor normal para calcular \Phi=\iint \mathbf B\cdot d\mathbf A.

Passo 2

Pelo resultado da Lei de Ampère, o campo magnético em torno de um fio infinito é
\mathbf B(\rho)=\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,\rho}\,\hat\varphi,
onde \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} e \hat\varphi é o versor na direção azimutal.

Passo 3

Na superfície em \varphi=90^\circ, o versor \hat\varphi vale
\hat\varphi\bigl|_{\varphi=90^\circ}=-\,\hat x.
Como a superfície está no plano x=0, seu vetor normal podemos escolher como
\hat n=-\,\hat x,
de modo que \mathbf B e \hat n fiquem alinhados.

Passo 4

O elemento de área é
d\mathbf A=\hat n\,dA =\bigl(-\hat x\bigr)\,(\rho\,d\rho\,dz).
Logo o produto escalar é
\mathbf B\cdot d\mathbf A =\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,\rho}(-\hat x)\cdot(-\hat x)\,\rho\,d\rho\,dz =\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,\rho}\,\rho\,d\rho\,dz =\frac{\mu_0\,I}{2\pi}\,d\rho\,dz.

Passo 5

Agora integramos sobre \rho de 1 a 4 e sobre z de 0 a 3:
\Phi =\int_{z=0}^{3}\!\int_{\rho=1}^{4}\frac{\mu_0\,I}{2\pi}\,d\rho\,dz =\frac{\mu_0\,I}{2\pi}\,\Bigl[\rho\Bigr]_{\rho=1}^{4}\, \Bigl[z\Bigr]_{0}^{3} =\frac{\mu_0\,I}{2\pi}\,(4-1)\,(3).

Passo 6

Substituindo I=3{,}0\\ \mathrm A e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}:
\frac{\mu_0\,I}{2\pi}=(4\pi\times10^{-7})\frac{3}{2\pi} =6\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m}.
Então
\Phi =6\times10^{-7}\times(3)\times3 =1{,}8\times10^{-6}\\ \times3 =5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.
Ops! Repare que já contamos o fator 3 de \rho e 3 de z. Na verdade foi
\Phi =6\times10^{-7}\,(4-1)\,(3) =6\times10^{-7}\times3\times3 =5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

O fluxo magnético através da superfície é
\Phi=5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.

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