Mostre que v(t) também pode ser escrito como v(t)= \pm \omega \sqrt{x_{m}^{2}-x^{2}(t)}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num Movimento Harmônico Simples em que
x(t)=x_{m}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
a velocidade também pode ser escrita como
v(t)=\pm \omega\sqrt{x_{m}^{2}-x^{2}(t)}.
O conteúdo é Cinética do MHS e vamos usar derivação e a identidade trigonométrica \sin^{2}+\cos^{2}=1.

Passo 2

Derivando x(t) em relação ao tempo obtemos
v(t)=\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[x_{m}\cos(\omega t+\varphi)\bigr] =-\,\omega\,x_{m}\,\sin(\omega t+\varphi).

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado para eliminar o seno:
v^{2}(t) =\omega^{2}x_{m}^{2}\,\sin^{2}(\omega t+\varphi).
Como \sin^{2}\theta = 1-\cos^{2}\theta e \cos(\omega t+\varphi)=\dfrac{x(t)}{x_{m}}, segue
v^{2}(t) =\omega^{2}x_{m}^{2}\bigl[1-\cos^{2}(\omega t+\varphi)\bigr] =\omega^{2}\bigl(x_{m}^{2}-x^{2}(t)\bigr).

Passo 4

Bastou tirar a raiz quadrada para chegar ao resultado com o “ \pm”:
v(t)=\pm \omega\sqrt{x_{m}^{2}-x^{2}(t)}.
O sinal positivo ou negativo indica se o corpo está se afastando + ou se aproximando - do ponto de equilíbrio.

Resposta

v(t)=\pm \omega\sqrt{x_{m}^{2}-x^{2}(t)}.

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