Sendo a, b, c e d números reais e positivos, determine a imagem e o período da função f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=a+b \cdot \cos (c x+d).

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},
f(x) = a + b\cdot \cos(cx + d)
com a,b,c,d>0. Precisamos achar a imagem (conjunto de valores assumidos por f) e o período de f. Vamos usar propriedades da função cosseno: amplitude, translação vertical e período.

Passo 2

Sabemos que para todo t vale \cos(t)\in[-1,1].
Multiplicando por b>0 obtemos
b\cos(t)\in[-b,b],
e somando a (translação vertical) dá
a + b\cos(t)\in[a - b,\;a + b].
Aqui t = cx + d percorre todos os reais quando x varia em \mathbb{R}, então a imagem de f é
[a - b,\;a + b].

Passo 3

A função \cos(u) tem período 2\pi em u, ou seja, \cos(u + 2\pi)=\cos(u). No nosso caso u = cx + d. Para que
c(x + T) + d = cx + d + 2\pi
é preciso cT = 2\pi, logo
T = \frac{2\pi}{c}.

Resposta

A imagem de f é [a - b,\;a + b].
O período de f é \displaystyle \frac{2\pi}{c}.

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