Considerando a função real g(x)=e^-x-cos x, encontre o valor do zero da função que está no intervalo 1,4 com a precisão de 10^-3. Usando os seguintes Métodos.
Posição Falsa;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, com precisão de 10^-3, o zero da função
g(x)=e^-x-cos x
no intervalo [1,4] usando o método da Posição Falsa. Vamos precisar de noções de substituição de intervalo baseado no sinal de g(x) e da fórmula
xr = a,g(b)-b,g(a)g(b)-g(a)

Passo 2

Primeiro confirmamos que há mudança de sinal em [1,4]:
g(1)=e^-1-cos1approx0,3679-0,5403=-0,1724<0,
g(4)=e^-4-cos4approx0,0183-(-0,6536)=0,6719>0
Como g(1),g(4)<0, existe pelo menos uma raiz em [1,4].

Passo 3

Aplicamos iterativamente a fórmula da Posição Falsa
xr^(k)=ak,g(bk)-bk,g(ak)g(bk)-g(ak),
atualizando o par (ak,bk) segundo o sinal de g(xr^(k)), até
l|xr^(k)-xr^(k-1)r|<10^-3
Tabela com os valores (arredondados a quatro casas decimais):
c|cccc|c k & ak & bk & xr^(k) & gl(xr^(k)r) & |xr^(k)-xr^(k-1)|hline 1 & 1,0000 & 4,0000 & 1,6128 & 0,2414 & - 2 & 1,0000 & 1,6128 & 1,2559 & -0,0242 & 0,3569 3 & 1,2559 & 1,6128 & 1,2901 & -0,0033 & 0,0342 4 & 1,2901 & 1,6128 & 1,2951 & -0,0009 & 0,0050 5 & 1,2951 & 1,6128 & 1,2971 & -0,0002 & 0,0020 6 & 1,2971 & 1,6128 & 1,2978 & -0,0000 & 0,0007
Na iteração k=6 já temos
|xr^(6)-xr^(5)|=0,0007<10^-3,
logo atingimos a precisão desejada.

Resposta

O zero de g(x) em [1,4] pelo método da Posição Falsa é aproximadamente
xapprox1,298

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