Considerando y=y(x) como uma função de x satisfazendo a condição dada, derive implicitamente para calcular y^{\prime}=d y / d x.
x \operatorname{arctg}\left(y^{2}\right)+y \operatorname{arcsen}\left(x^{3}+1\right)+e^{\cos y}=5.

Passo 1

O enunciado dá a relação
x\,\operatorname{arctg}(y^2)\;+\;y\,\operatorname{arcsen}(x^3+1)\;+\;e^{\cos y}=5,
onde y=y(x). Para encontrar y'=dy/dx usaremos diferenciação implícita, aplicando regra do produto, regra da cadeia e as derivadas de \operatorname{arctg}, \operatorname{arcsen} e da função exponencial.

Passo 2

Derivando o primeiro termo x\,\operatorname{arctg}(y^2) por x:
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\operatorname{arctg}(y^2)\bigr] =1\cdot\operatorname{arctg}(y^2) + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(y^2)\bigr) =\operatorname{arctg}(y^2) + x\cdot\frac{1}{1+(y^2)^2}\cdot 2y\,y' =\operatorname{arctg}(y^2)+\frac{2x\,y}{1+y^4}\,y'.

Passo 3

Derivando o segundo termo y\,\operatorname{arcsen}(x^3+1):
\frac{d}{dx}\bigl[y\,\operatorname{arcsen}(x^3+1)\bigr] =y'\,\operatorname{arcsen}(x^3+1) + y\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(x^3+1)^2}}\cdot 3x^2 = y'\,\operatorname{arcsen}(x^3+1) +\frac{3x^2\,y}{\sqrt{1-(x^3+1)^2}}.

Passo 4

Derivando o terceiro termo e^{\cos y} por x, pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\cos y}\bigr) = e^{\cos y}\cdot\frac{d}{dx}(\cos y) = e^{\cos y}\cdot(-\sin y)\,y' = -\,e^{\cos y}\,\sin y\,y'.

Passo 5

Somando todas as derivadas e igualando a zero (pois a derivada de 5 é 0):
\bigl[\operatorname{arctg}(y^2)+\tfrac{2x\,y}{1+y^4}\,y'\bigr] +\bigl[y'\,\operatorname{arcsen}(x^3+1)+\tfrac{3x^2\,y}{\sqrt{1-(x^3+1)^2}}\bigr] -\bigl[e^{\cos y}\sin y\,y'\bigr] =0.
Reagrupando termos em y':
\Bigl(\frac{2x\,y}{1+y^4}+\operatorname{arcsen}(x^3+1)-e^{\cos y}\sin y\Bigr)y' +\Bigl(\operatorname{arctg}(y^2)+\frac{3x^2\,y}{\sqrt{1-(x^3+1)^2}}\Bigr)=0.
Isolando y':
y' =-\frac{\displaystyle \operatorname{arctg}(y^2) +\dfrac{3x^2\,y}{\sqrt{1-(x^3+1)^2}}} {\displaystyle \frac{2x\,y}{1+y^4} +\operatorname{arcsen}(x^3+1) -e^{\cos y}\,\sin y}.

Resposta

y'=-\frac{\displaystyle \operatorname{arctg}(y^2) +\dfrac{3x^2\,y}{\sqrt{1-(x^3+1)^2}}} {\displaystyle \frac{2x\,y}{1+y^4} +\operatorname{arcsen}(x^3+1) -e^{\cos y}\,\sin y}.

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