Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} \mathrm{e} acima da região D do plano x y limitada pela reta Y=(5 / 3) x e pela parábola Y=(5 / 9) x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por baixo pelo paraboloide
z = x^2 + y^2
e por cima da região D do plano xy determinada pelas curvas
y = \frac{5}{3}\,x \quad\text{e}\quad y = \frac{5}{9}\,x^2.
O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção de
\frac{5}{3}\,x = \frac{5}{9}\,x^2
que levam a
5x\bigl(x-3\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=3.
Para 0\le x\le3, nota-se que
\frac{5}{9}\,x^2 \;\le\; \frac{5}{3}\,x,
logo a região D pode ser escrita como
0 \le x \le 3, \qquad \frac{5}{9}\,x^2 \;\le\; y \;\le\;\frac{5}{3}\,x.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D}\bigl(x^2 + y^2\bigr)\,dA = \int_{x=0}^{3} \int_{y=\frac{5}{9}x^2}^{\frac{5}{3}x} \bigl(x^2 + y^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{\frac{5}{9}x^2}^{\frac{5}{3}x}(x^2 + y^2)\,dy = x^2\Bigl[y\Bigr]_{\frac{5}{9}x^2}^{\frac{5}{3}x} \;+\;\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{\frac{5}{9}x^2}^{\frac{5}{3}x}.
Isso resulta em
x^2\Bigl(\tfrac{5}{3}x - \tfrac{5}{9}x^2\Bigr) \;+\; \tfrac{1}{3}\Bigl(\bigl(\tfrac{5}{3}x\bigr)^3 - \bigl(\tfrac{5}{9}x^2\bigr)^3\Bigr) = \frac{260}{81}\,x^3 \;-\;\frac{5}{9}\,x^4 \;-\;\frac{125}{2187}\,x^6.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \int_{0}^{3} \Bigl(\frac{260}{81}\,x^3 - \frac{5}{9}\,x^4 - \frac{125}{2187}\,x^6\Bigr)\,dx.
Calculando termo a termo e simplificando obtém-se
V = \frac{141}{7}.

Resposta

V = \frac{141}{7}.

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