Considerando as funções abaixo, encontre uma raiz utilizando o método de Newton \operatorname{com} \varepsilon<0,01.
f(x)=x-\operatorname{sen}(x)+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x-\sin(x)+1
e pede para encontrar uma raiz usando o método de Newton com critério de parada \varepsilon<0,01. Para isso precisamos da derivada f'(x) e de um chute inicial x_0.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=1-\cos(x).
Para escolher x_0, buscamos um intervalo onde f mude de sinal.
f(-2)=-2-\sin(-2)+1=-2+\sin(2)+1\approx -2+0{,}909+1=-0{,}091<0,
f(-1)=-1-\sin(-1)+1=-1+\sin(1)+1\approx -1+0{,}842+1=0{,}842>0.
Como há mudança de sinal em (-2,-1), tomamos x_0=-1{,}5.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Newton
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
fazemos as duas primeiras iterações:
f(x_0)\approx -1{,}5-\sin(-1{,}5)+1\approx 0{,}497,\quad f'(x_0)\approx1-\cos(-1{,}5)\approx0{,}9293,
x_1=-1{,}5-\frac{0{,}497}{0{,}9293}\approx -2{,}035.
Em seguida
f(x_1)\approx -2{,}035-\sin(-2{,}035)+1\approx -0{,}139,\quad f'(x_1)\approx1-\cos(-2{,}035)\approx1{,}448,
x_2=-2{,}035-\frac{-0{,}139}{1{,}448}\approx -1{,}939.

Passo 4

Mais uma iteração para verificar o critério \varepsilon<0{,}01:
f(x_2)\approx -1{,}939-\sin(-1{,}939)+1\approx -0{,}0058,\quad f'(x_2)\approx1-\cos(-1{,}939)\approx1{,}356,
x_3=-1{,}939-\frac{-0{,}0058}{1{,}356}\approx -1{,}935.
Como
|x_3-x_2|\approx0{,}004<0{,}01,
atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx -1{,}935.

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