Considerando as funções abaixo, encontre uma raiz utilizando o método de Newton \operatorname{com} \varepsilon<0,01.
f(x)=\cos x-3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz de
f(x)=\cos x - 3x
usando o método de Newton com critério de parada \varepsilon<0,01. Vamos precisar da derivada f'(x), da fórmula de iteração de Newton e de um palpite inicial razoável.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = -\sin x - 3.
A iteração de Newton é dada por
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 3

Precisamos de um chute inicial x_0. Note que
f(0{,}3) = \cos(0{,}3) - 3\cdot0{,}3 \approx 0{,}955336 - 0{,}9 = 0{,}055336 > 0
e
f(0{,}32) = \cos(0{,}32) - 3\cdot0{,}32 \approx 0{,}9490 - 0{,}96 = -0{,}0110 < 0,
logo há mudança de sinal em [0{,}3,0{,}32]. Tomamos x_0=0{,}3.

Passo 4

Calculamos a primeira iteração:
f(0{,}3) = 0{,}055336,\quad f'(0{,}3) = -\sin(0{,}3) - 3 \approx -0{,}295520 - 3 = -3{,}295520,
x_1 = 0{,}3 \;-\;\frac{0{,}055336}{-3{,}295520} \approx 0{,}3 + 0{,}016795 = 0{,}316795.
Verificamos o critério:
|x_1 - x_0| = |0{,}316795 - 0{,}3| = 0{,}016795 > 0{,}01,
ainda não alcançamos \varepsilon, então iteramos de novo.

Passo 5

Segunda iteração:
f(0{,}316795) = \cos(0{,}316795) - 3\cdot0{,}316795 \approx 0{,}950927 - 0{,}950386 = 0{,}000541,
f'(0{,}316795) = -\sin(0{,}316795) - 3 \approx -0{,}311473 - 3 = -3{,}311473,
x_2 = 0{,}316795 \;-\;\frac{0{,}000541}{-3{,}311473} \approx 0{,}316795 + 0{,}000163 = 0{,}316958.
Agora
|x_2 - x_1| = 0{,}000163 < 0{,}01,
logo atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 0{,}31696.

Exercícios relacionados