Considere a função f(x)=x^{2}-2, encontre a raiz positiva de f utilizando o método de Newton \operatorname{com} \varepsilon<0,0001

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz positiva da função \displaystyle f(x)=x^{2}-2
usando o método de Newton com tolerância \varepsilon<0,0001.
O conteúdo aqui é método iterativo de raízes (Newton–Raphson), para o qual precisamos de f(x) e de sua derivada f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=2x
e escrevemos a fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} =x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}} =\frac{x_{n}+\tfrac{2}{x_{n}}}{2}.

Passo 3

Escolhemos como palpite inicial x_{0}=1.
A regra de parada é
|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon=0,0001.

Passo 4

Aplicamos a iteração até a tolerância:
\begin{aligned} x_{1}&=\tfrac{1+2/1}{2}=1,5, &|x_{1}-x_{0}|=0,5>0,0001,\\\ x_{2}&=\tfrac{1,5+2/1,5}{2}\approx1,4166667, &|x_{2}-x_{1}|\approx0,0833333>0,0001,\\\ x_{3}&=\tfrac{1,4166667+2/1,4166667}{2}\approx1,4142157, &|x_{3}-x_{2}|\approx0,0024510>0,0001,\\\ x_{4}&=\tfrac{1,4142157+2/1,4142157}{2}\approx1,41421356, &|x_{4}-x_{3}|\approx0,0000021<0,0001. \end{aligned}
Como |x_{4}-x_{3}|<\varepsilon, paramos em n=4.

Resposta

A raiz positiva aproximada é
x_{4}\approx1,41421356\quad(\text{ou arredondando, }1,4142).

Exercícios relacionados