Considerando as funções apresentadas, calcule suas derivadas aplicando as regras apropriadas de diferenciação. Utilize a notação de Lagrange f^prime(x) ou a notação de Leibniz d yd x.
r(t)=ln (raizt^4+e^3 t)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a função $ r(t) = \ln\left( \sqrt{t^{4} + e^{3 t}} \right) $ e precisamos calcular a sua derivada utilizando as regras apropriadas de diferenciação. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que $ \sqrt{t^{4} + e^{3 t}} = (t^{4} + e^{3 t})^{1/2} $, então a função fica:
raizt^4 + e^3 t = (t^4 + e^3 t)^1/2

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^{b}) = b \ln(a) $, podemos reescrever a função como:
ln(a^b) = b ln(a)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ r(t) $ em relação a $ t $. Aplicamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então:
r(t)
t

Resposta

A derivada de $ r(t) $ é:
r(t)

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