Considerando as funções apresentadas, calcule suas derivadas aplicando as regras apropriadas de diferenciação. Utilize a notação de Lagrange
ou a notação de Leibniz
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos a função $ r(t) = \ln\left( \sqrt{t^{4} + e^{3 t}} \right) $ e precisamos calcular a sua derivada utilizando as regras apropriadas de diferenciação. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e as propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que $ \sqrt{t^{4} + e^{3 t}} = (t^{4} + e^{3 t})^{1/2} $, então a função fica:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^{b}) = b \ln(a) $, podemos reescrever a função como:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ r(t) $ em relação a $ t $. Aplicamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então:
Resposta
A derivada de $ r(t) $ é: