Considerando as funções apresentadas, calcule suas derivadas aplicando as regras apropriadas de diferenciação. Utilize a notação de Lagrange f^prime(x) ou a notação de Leibniz d yd x.
h(t)=sen(cos (tg(e^t^2)))

Passo 1

Temos a função h(t)=senl(cosl(tg(e^t^2)r)r). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para compor quatro funções: exponencial, tangente, cosseno e seno. Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Definimos a função interna u(t)=e^t^2 e calculamos sua derivada usando que ddte^g(t)=e^g(t),g'(t). Assim temos
u'(t)=e^t^2cdot 2t=2t,e^t^2

Passo 3

Agora queremos a derivada de v(t)=tg(u(t)). Aplicando que ddxtan(x)=sec^2(x) e a cadeia, obtemos
v'(t)=sec^2l(u(t)r)cdot u'(t)=sec^2l(e^t^2r)cdot2t,e^t^2

Passo 4

Em seguida vem w(t)=cosl(v(t)r). Sabendo que ddxcos(x)=-sin(x) e aplicando a cadeia:
w'(t)=-sinl(v(t)r)cdot v'(t)=-sinl(tan(e^t^2)r)cdotsec^2l(e^t^2r),2t,e^t^2

Passo 5

Por fim, a função externa é h(t)=senl(w(t)r). Usando ddxsin(x)=cos(x) e a regra da cadeia, temos
h'(t)=cosl(w(t)r)cdot w'(t)=cosl(cos(tan(e^t^2))r)l[-sinl(tan(e^t^2)r),sec^2(e^t^2),2t,e^t^2r]

Resposta

$$h’(t)=-2t,e{t2},\sec2\bigl(e{t2}\bigr),\sin\bigl(\tan(e{t2})\bigr),\cos\bigl(\cos(\tan(e{t^2}))\bigr).
$$

Exercícios relacionados