Considerando as funções dadas a seguir, forneça, se possivel, e esboce as curvas de nível para k= 0,1,2,3,4.
f(x, y)=x+3 y

Passo 1

O enunciado fornece a função f e pede, para k=0,1,2,3,4, que eu forneça e esboce as curvas de nível:
f(x,y)=x+3y
As informações relevantes são:
\text{valores de }k: \;0,\;1,\;2,\;3,\;4.
A tarefa é, para cada k, escrever a equação da curva de nível \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} e explicar como desenhar/interpretar essas curvas.

Passo 2

Definição (rápida e didática): a curva de nível para um nível k é o conjunto de pontos (x,y) que fazem f(x,y)=k. Em outras palavras, fixamos o valor da função e olhamos para o contorno no plano que mantém esse valor constante. Aqui, para cada k vamos resolver a equação
x+3y=k.

Passo 3

Coloco a equação da curva de nível em forma explícita para y. Isso ajuda a desenhar como uma reta no plano:
x+3y=k \quad\Longrightarrow\quad 3y=k-x \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{1}{3}x+\frac{k}{3}.
Explicação dos termos:
  • y é a ordenada (vertical) em função da abscissa x.
  • O coeficiente -\tfrac{1}{3} é a inclinação (slope): a reta desce 1 unidade em y quando x cresce 3 unidades.
  • O termo \tfrac{k}{3} é o intercepto em y (onde a reta cruza o eixo vertical).

Passo 4

Geometria das curvas:
  • Todas as curvas x+3y=k são retas paralelas porque têm a mesma inclinação -\tfrac{1}{3}.
  • O vetor normal (perpendicular) a essas retas é (1,3) — isso vem do lado esquerdo 1\cdot x + 3\cdot y.
  • A distância perpendicular entre duas retas com parâmetros k_1 e k_2 é
\text{dist}=\frac{|k_2-k_1|}{\|(1,3)\|}=\frac{|k_2-k_1|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|k_2-k_1|}{\sqrt{10}}.
Portanto, as retas para níveis consecutivos (diferença 1) estão separadas por \dfrac{1}{\sqrt{10}}\approx 0,316.

Passo 5

Para desenhar cada reta rapidamente, é prático achar dois pontos fáceis: intercepto em x (quando y=0) e intercepto em y (quando x=0).
  • Se y=0 então x=k. Logo o ponto (k,0) é o intercepto em x.
  • Se x=0 então y=\dfrac{k}{3}. Logo o ponto (0,\tfrac{k}{3}) é o intercepto em y.
Agora calculo esses interceptos para cada k.

Passo 6

Cálculos concretos (pontos que ajudam a esboçar):
  • Para k=0: interceptos (0,0) e (0,\tfrac{0}{3})=(0,0). A reta passa pela origem. Equação:
x+3y=0.
  • Para k=1: interceptos (1,0) e (0,\tfrac{1}{3}). Equação:
x+3y=1.
  • Para k=2: interceptos (2,0) e (0,\tfrac{2}{3}). Equação:
x+3y=2.
  • Para k=3: interceptos (3,0) e (0,1). Equação:
x+3y=3.
  • Para k=4: interceptos (4,0) e (0,\tfrac{4}{3}). Equação:
x+3y=4.
Cada par de pontos serve para traçar a reta: ligue (k,0) a (0,\tfrac{k}{3}). Todas as retas terão inclinação -\tfrac{1}{3} e estarão igualmente espaçadas na direção perpendicular.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo rápido para a prova):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y.
  2. Para cada k marque o ponto (k,0) no eixo x e (0,\tfrac{k}{3}) no eixo y.
  3. Trace uma reta passando por esses dois pontos — essa é a curva de nível k.
  4. Observe que as retas são paralelas e que a reta de k maior fica deslocada para cima/para a direita (no sentido do vetor normal (1,3)).
Dica relaxante: para checar, pegue x=3 em qualquer reta e calcule y por y=-\tfrac{1}{3}\cdot 3 + \tfrac{k}{3} = -1 + \tfrac{k}{3}; isso dá outro ponto na reta e confirma a inclinação.

Resposta

x+3y=0
x+3y=1
x+3y=2
x+3y=3
x+3y=4

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