Considerando as funções dadas a seguir, forneça, se possivel, e esboce as curvas de nível para
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede, para
, que eu forneça e esboce as curvas de nível:
As informações relevantes são:
A tarefa é, para cada
, escrever a equação da curva de nível
e explicar como desenhar/interpretar essas curvas.
Passo 2
Definição (rápida e didática): a curva de nível para um nível
é o conjunto de pontos
que fazem
. Em outras palavras, fixamos o valor da função e olhamos para o contorno no plano que mantém esse valor constante. Aqui, para cada
vamos resolver a equação
Passo 3
Coloco a equação da curva de nível em forma explícita para
. Isso ajuda a desenhar como uma reta no plano:
Explicação dos termos:
-
é a ordenada (vertical) em função da abscissa . - O coeficiente
é a inclinação (slope): a reta desce unidade em quando cresce unidades. - O termo
é o intercepto em (onde a reta cruza o eixo vertical).
Passo 4
Geometria das curvas:
- Todas as curvas
são retas paralelas porque têm a mesma inclinação . - O vetor normal (perpendicular) a essas retas é
— isso vem do lado esquerdo . - A distância perpendicular entre duas retas com parâmetros
e é
Portanto, as retas para níveis consecutivos (diferença
) estão separadas por
.
Passo 5
Para desenhar cada reta rapidamente, é prático achar dois pontos fáceis: intercepto em
(quando
) e intercepto em
(quando
).
- Se
então . Logo o ponto é o intercepto em . - Se
então . Logo o ponto é o intercepto em .
Agora calculo esses interceptos para cada
.
Passo 6
Cálculos concretos (pontos que ajudam a esboçar):
- Para
: interceptos e . A reta passa pela origem. Equação:
- Para
: interceptos e . Equação:
- Para
: interceptos e . Equação:
- Para
: interceptos e . Equação:
- Para
: interceptos e . Equação:
Cada par de pontos serve para traçar a reta: ligue
a
. Todas as retas terão inclinação
e estarão igualmente espaçadas na direção perpendicular.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo rápido para a prova):
- Desenhe e marque os eixos
e . - Para cada
marque o ponto no eixo e no eixo . - Trace uma reta passando por esses dois pontos — essa é a curva de nível
. - Observe que as retas são paralelas e que a reta de
maior fica deslocada para cima/para a direita (no sentido do vetor normal ).
Dica relaxante: para checar, pegue
em qualquer reta e calcule
por
; isso dá outro ponto na reta e confirma a inclinação.