(Limite como Integral) Expresse o seguinte limite como uma integral definida no intervalo [1,3] :
lim n infty sumi=1^n 2n(1+2 in)^3

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
limntoinftysumi=1^n2nl(1+2inr)^3
e pede para reconhecê-lo como uma integral definida no intervalo [1,3]. O conteúdo aqui é a interpretação de uma soma de Riemann como integral de uma função contínua.

Passo 2

Identificamos o tamanho do subintervalo De<a x em uma partição uniforme de [1,3] em n pedaços:
De<a x = 3-1n = 2n

Passo 3

Reconhecemos o ponto de amostragem xi no i-ésimo subintervalo, escolhendo sempre o extremo direito:
xi = 1 + i,De<a x = 1 + 2in

Passo 4

A soma
sumi=1^n2nl(1+2inr)^3
torna-se
sumi=1^nf(xi),De<a x
com f(x)=x^3. Pelo conceito de soma de Riemann, ao fazermos ntoinfty, isso converge para
integral1^3x^3,dx

Resposta

integral1^3x^3,dx

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