Considere a série de potências sumn=0^infty cn x^n. Sabemos que para x=2 a série é convergente, e para x=-4 a série é divergente.
O que podemos afirmar sobre o raio de convergência da série em questão? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma série de potências: sumn=0^infty cn x^n. Nosso objetivo é descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, sabemos que a série converge quando x = 2 e diverge quando x = -4. Vamos usar conceitos de séries de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Em séries de potências da forma sum cnx^n, o raio de convergência R é o valor tal que a série converge para |x| < R e diverge para |x| > R. No caso de |x| = R, a série pode tanto convergir quanto divergir.

Passo 3

Sabemos que a série converge quando x = 2, ou seja, para |2| = 2. Isso nos indica que R deve ser pelo menos 2, porque a série está convergindo dentro desse valor.

Passo 4

Por outro lado, a série diverge quando x = -4, o que significa que para |-4| = 4, a série não está funcionando. Isso nos diz que o raio de convergência R não pode ser maior que 4.

Resposta

Portanto, o raio de convergência R da série está entre 2 e 4, ou seja, 2 <= R <= 4.

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