Considere a série de potências
. Sabemos que para
a série é convergente, e para
a série é divergente.
O que podemos afirmar sobre o raio de convergência da série em questão? Justifique.
O que podemos afirmar sobre o raio de convergência da série em questão? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma série de potências:
. Nosso objetivo é descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, sabemos que a série converge quando
e diverge quando
. Vamos usar conceitos de séries de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Em séries de potências da forma
, o raio de convergência
é o valor tal que a série converge para
e diverge para
. No caso de
, a série pode tanto convergir quanto divergir.
Passo 3
Sabemos que a série converge quando
, ou seja, para
. Isso nos indica que
deve ser pelo menos 2, porque a série está convergindo dentro desse valor.
Passo 4
Por outro lado, a série diverge quando
, o que significa que para
, a série não está funcionando. Isso nos diz que o raio de convergência
não pode ser maior que 4.
Resposta
Portanto, o raio de convergência
da série está entre 2 e 4, ou seja,
.