Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e objetivo:
- A função é
. - Preciso encontrar
, a derivada em função de . - Observação:
é o mesmo que (tangente), então vou usar nas fórmulas para ficar mais comum na notação.
Passo 2
Escolhemos escrever a função como quociente e usar a regra do quociente. Defino
logo
A regra do quociente diz que
Agora vou calcular
e
separadamente — é aqui que entra a regra da cadeia.
Passo 3
Derivada de
.
Uma forma clara de ver isso é escrever . Aplicando a regra da cadeia para
(derivada é
) obtemos
Uma forma clara de ver isso é escrever
Explicando devagar: a função exponencial base
tem derivada igual a ela mesma; como o expoente é
, multiplicamos por a derivada do expoente que é
. Assim
.
Passo 4
Derivada de
.
Primeiro lembro a derivada de em relação a
:
. Para ver isso rapidamente, use
e a regra do quociente; o resultado dá
. Agora aplico a regra da cadeia com
: a derivada de
é
. Portanto
Primeiro lembro a derivada de
Comentário prático: a cadeia diz que ao derivar uma função composta você multiplica pela derivada da parte interna — aqui a interna é
.
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente com os resultados:
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Fatorando
no numerador para deixar a expressão mais limpa:
Esta forma é equivalente à anterior e é uma boa forma para levar à prova, pois evidência os fatores principais: a contribuição da derivada de
e a da derivada da tangente composta.