Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{9^{x}}{\operatorname{tg}\left(x^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{9^{x}}{\operatorname{tg}\left(x^{3}\right)}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{9^{x}}{\operatorname{tg}\!\bigl(x^{3}\bigr)}.
  • Preciso encontrar f'(x), a derivada em função de x.
  • Observação: \operatorname{tg} é o mesmo que \tan (tangente), então vou usar \tan nas fórmulas para ficar mais comum na notação.

Passo 2

Escolhemos escrever a função como quociente e usar a regra do quociente. Defino
u(x)=9^{x},\qquad v(x)=\tan\bigl(x^{3}\bigr),
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f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.
A regra do quociente diz que
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Agora vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente — é aqui que entra a regra da cadeia.

Passo 3

Derivada de u(x)=9^{x}.
Uma forma clara de ver isso é escrever 9^{x}=e^{x\ln 9}. Aplicando a regra da cadeia para e^{g(x)} (derivada é e^{g(x)}g'(x)) obtemos
u'(x)=e^{x\ln 9}\cdot\ln 9=9^{x}\ln 9.
Explicando devagar: a função exponencial base e tem derivada igual a ela mesma; como o expoente é x\ln 9, multiplicamos por a derivada do expoente que é \ln 9. Assim d(9^{x})/dx=9^{x}\ln 9.

Passo 4

Derivada de v(x)=\tan\bigl(x^{3}\bigr).
Primeiro lembro a derivada de \tan(t) em relação a t: \dfrac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^{2}t. Para ver isso rapidamente, use \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e a regra do quociente; o resultado dá \operatorname{sec}^{2}t. Agora aplico a regra da cadeia com t=x^{3}: a derivada de x^{3} é 3x^{2}. Portanto
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}=3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr).
Comentário prático: a cadeia diz que ao derivar uma função composta você multiplica pela derivada da parte interna — aqui a interna é x^{3}.

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente com os resultados:
u'(x)=9^{x}\ln 9,\qquad v(x)=\tan\bigl(x^{3}\bigr),\qquad v'(x)=3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr).
Substituindo em
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
obtemos
f'(x)=\frac{9^{x}\ln 9\;\tan\bigl(x^{3}\bigr)-9^{x}\cdot 3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)}{\tan^{2}\bigl(x^{3}\bigr)}.

Passo 6

Fatorando 9^{x} no numerador para deixar a expressão mais limpa:
f'(x)=9^{x}\,\frac{\ln 9\;\tan\bigl(x^{3}\bigr)-3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)}{\tan^{2}\bigl(x^{3}\bigr)}.
Esta forma é equivalente à anterior e é uma boa forma para levar à prova, pois evidência os fatores principais: a contribuição da derivada de 9^{x} e a da derivada da tangente composta.

Resposta

f'(x)=9^{x}\,\frac{\ln 9\;\tan\bigl(x^{3}\bigr)-3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)}{\tan^{2}\bigl(x^{3}\bigr)}

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