Considerando um grande número de medidas de forma que
seja uma boa estimativa de
, determine que nível de confiança foi usado para cada um dos intervalos de confiança:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um intervalo de confiança dado por:
Aqui,
é a média amostral,
é o desvio padrão da amostra que estima
(o desvio padrão populacional), e
é o tamanho da amostra. O objetivo é descobrir qual é o nível de confiança associado a esse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que o verdadeiro valor da média populacional (
) esteja, com certo nível de confiança. A fórmula geral de um intervalo de confiança para a média, quando o desvio padrão populacional
é conhecido (ou bem estimado por
), é:
Aqui,
é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado na distribuição normal padrão.
Passo 3
No enunciado, o intervalo de confiança está dado por:
Comparando com a fórmula geral, vemos que:
Precisamos encontrar o nível de confiança que corresponde a esse valor de
.
Passo 4
Para encontrar o nível de confiança, precisamos calcular a probabilidade de a média populacional
estar dentro desse intervalo. Isso é equivalente a encontrar a área central sob a curva normal padrão entre
e
.
Em termos matemáticos, queremos:
onde
segue uma distribuição normal padrão (
).
Passo 5
Para calcular essa probabilidade, podemos usar uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. O valor de
corresponde a uma área acumulada de aproximadamente
ou
.
Como a distribuição é simétrica, a probabilidade de
estar entre
e
é:
Resposta
O nível de confiança utilizado para o intervalo de confiança
é de aproximadamente 99,90%.