Considerando um grande número de medidas de forma que s seja uma boa estimativa de sigma, determine que nível de confiança foi usado para cada um dos intervalos de confiança: barx pm 3.29 sraizN

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um intervalo de confiança dado por:
barx pm 3.29 , sraizN
Aqui, barx é a média amostral, s é o desvio padrão da amostra que estima sigma (o desvio padrão populacional), e N é o tamanho da amostra. O objetivo é descobrir qual é o nível de confiança associado a esse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá um intervalo dentro do qual esperamos que o verdadeiro valor da média populacional ( mu) esteja, com certo nível de confiança. A fórmula geral de um intervalo de confiança para a média, quando o desvio padrão populacional sigma é conhecido (ou bem estimado por s), é:
barx pm z cdot sigmaraizN
Aqui, z é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado na distribuição normal padrão.

Passo 3

No enunciado, o intervalo de confiança está dado por:
barx pm 3.29 , sraizN
Comparando com a fórmula geral, vemos que:
z = 3.29
Precisamos encontrar o nível de confiança que corresponde a esse valor de z.

Passo 4

Para encontrar o nível de confiança, precisamos calcular a probabilidade de a média populacional mu estar dentro desse intervalo. Isso é equivalente a encontrar a área central sob a curva normal padrão entre -3.29 e +3.29.
Em termos matemáticos, queremos:
P(-3.29 < Z < 3.29)
onde Z segue uma distribuição normal padrão ( Z sim N(0, 1)).

Passo 5

Para calcular essa probabilidade, podemos usar uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. O valor de z = 3.29 corresponde a uma área acumulada de aproximadamente 0.9995 ou 99.95%.
Como a distribuição é simétrica, a probabilidade de Z estar entre -3.29 e +3.29 é:
P(-3.29 < Z < 3.29) = 2 times P(Z < 3.29) - 1 = 2 times 0.9995 - 1 = 0.9990 ou 99.90%

Resposta

O nível de confiança utilizado para o intervalo de confiança barx pm 3.29 , sraizN é de aproximadamente 99,90%.

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