Considerando o grupo cíclico , demonstre que um elemento barm in Zn é um gerador de Zn se, e somente se, mdc(n, m)=1.
Dica: Utilizar o resultado: mdc(n, m)=1 se, e somente se, existem p, q in Z tais que np+mq=1.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos o grupo cíclico Zn= 0, 1, cdots, n-1, que é basicamente os números de 0 a n-1 com a operação de adição módulo n. A questão quer que a gente mostre que um elemento m desse grupo é um gerador, ou seja, consegue “gerar” todo o grupo adicionando-se ele mesmo várias vezes, se e somente se o máximo divisor comum de n e m for 1, ou seja, mdc(n, m) = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre grupos cíclicos e o que significa um gerador, além de usar a ideia de que se mdc(n, m) = 1, então existem números inteiros p e q que satisfazem a equação np + mq = 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa m ser um gerador de Zn. Isso quer dizer que, se começarmos com m e começarmos a adicionar ele mesmo repetidamente, eventualmente vamos passar por todos os elementos de Zn. Em termos matemáticos, isso significa que o conjunto m, 2m, 3m, dots, (n-1)m deve ser igual a Zn.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com o mdc. Sabemos que mdc(n, m) = 1 significa que n e m são coprimos, ou seja, eles não têm nenhum divisor comum além de 1. O resultado que a gente vai usar aqui é que se mdc(n, m) = 1, então existem inteiros p e q tais que np + mq = 1. Isso é conhecido como identidades de Bézout.
Passo 4
Vamos provar a direção "se m é gerador, então mdc(n, m) = 1". Se m gera todo o grupo, então existe algum múltiplo de m que é congruente a 1 módulo n, ou seja, km equiv 1 pmodn para algum inteiro k. Isso significa que km - 1 é múltiplo de n, ou seja, km - 1 = np para algum inteiro p. Rearranjando, temos np + km = 1, o que mostra que mdc(n, m) deve ser 1.
Passo 5
Agora, vamos provar a direção “se mdc(n, m) = 1, então m é gerador”. Sabemos, pelo resultado de Bézout, que existem inteiros p e q tais que np + mq = 1. Isso significa que mq equiv 1 pmodn, ou seja, m cdot q = 1. Isso implica que m tem um inverso multiplicativo no grupo, o que, por sua vez, garante que as múltiplas de m cobrem todos os elementos do grupo Zn.
Resposta
Portanto, demonstramos que um elemento m in Zn é um gerador de Zn se e somente se mdc(n, m) = 1.