Sejam
um número primo ímpar e
o conjunto
Determine se
é um subgrupo de
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um número primo ímpar
e consideramos o conjunto
, que consiste de todos os números da forma
onde
e
são inteiros, exceto o zero. A pergunta é: esse conjunto
é um subgrupo do grupo dos números reais não nulos
com a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e verificar se
satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um subgrupo. Um conjunto
é um subgrupo de um grupo
se:
- O elemento identidade de
está em . -
é fechado sob a operação do grupo. - Todo elemento de
tem seu inverso em .
No nosso caso, o grupo
é
, onde a operação é a multiplicação. O elemento identidade aqui é
.
Passo 3
Primeiro, verificamos se o elemento identidade está em
. O número
pode ser escrito como
, onde
e
, que são inteiros. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação. Tomemos dois elementos quaisquer de
:
Multiplicando-os, temos:
Simplificando:
Como
são inteiros e
é primo, os coeficientes
e
também são inteiros. Portanto, o produto está novamente em
. Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação.
Passo 5
Por fim, precisamos verificar se todo elemento de
possui seu inverso em
. O inverso de
em
é
. Para que esse inverso esteja em
, ele precisaria ser da forma
com
inteiros.
No entanto, geralmente,
não é da forma
com
inteiros, a menos que
e
. Isso não acontece para todos os elementos de
, especialmente quando
.
Resposta
Portanto,
não é um subgrupo de
.