Sejam p um número primo ímpar e Z[raizp] o conjunto
Z[raizp]^*=a+b raizp mid a, b in Z-0
Determine se Z[raizp]^* é um subgrupo de (R^*, cdot).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um número primo ímpar p e consideramos o conjunto Z[raizp]^* , que consiste de todos os números da forma a + braizp onde a e b são inteiros, exceto o zero. A pergunta é: esse conjunto Z[raizp]^* é um subgrupo do grupo dos números reais não nulos (R^*, cdot) com a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo e verificar se Z[raizp]^* satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um subgrupo. Um conjunto H é um subgrupo de um grupo G se:
  1. O elemento identidade de G está em H .
  2. H é fechado sob a operação do grupo.
  3. Todo elemento de H tem seu inverso em H .
No nosso caso, o grupo G é (R^*, cdot) , onde a operação é a multiplicação. O elemento identidade aqui é 1 .

Passo 3

Primeiro, verificamos se o elemento identidade está em Z[raizp]^* . O número 1 pode ser escrito como 1 + 0raizp , onde a = 1 e b = 0 , que são inteiros. Portanto, 1 in Z[raizp]^* .

Passo 4

Agora, vamos verificar se Z[raizp]^* é fechado sob multiplicação. Tomemos dois elementos quaisquer de Z[raizp]^* :
(a + braizp) e (c + draizp)
Multiplicando-os, temos:
(a + braizp)(c + draizp) = ac + (ad + bc)raizp + bd p
Simplificando:
= (ac + bd p) + (ad + bc)raizp
Como a, b, c, d são inteiros e p é primo, os coeficientes ac + bd p e ad + bc também são inteiros. Portanto, o produto está novamente em Z[raizp]^* . Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação.

Passo 5

Por fim, precisamos verificar se todo elemento de Z[raizp]^* possui seu inverso em Z[raizp]^* . O inverso de a + braizp em R^* é 1a + braizp . Para que esse inverso esteja em Z[raizp]^* , ele precisaria ser da forma c + draizp com c, d inteiros.
No entanto, geralmente, 1a + braizp não é da forma c + draizp com c, d inteiros, a menos que b = 0 e a = pm 1 . Isso não acontece para todos os elementos de Z[raizp]^* , especialmente quando b neq 0 .

Resposta

Portanto, Z[raizp]^* não é um subgrupo de (R^*, cdot) .

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