Considerando a identidade
válida para todo
, represente cada função abaixo por uma série de potências.
Passo 1
Então, a gente precisa transformar a função
em uma série de potências. Vamos usar a identidade básica que diz que
, válida para
. Para isso, vamos ajustar essa identidade para encaixar a nossa função.
Passo 2
Primeiro, observe que na nossa função temos
no denominador, enquanto na identidade básica é
. Podemos reescrever a nossa função como
para que fique mais parecida com a identidade.
Passo 3
Agora, comparando com a identidade
, substituímos
por
. Assim, a série fica:
.
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
. Essa série será válida quando o valor absoluto da razão dentro da série for menor que 1, ou seja, quando
. Resolvendo isso, obtemos
.
Resposta
A função
pode ser representada pela série de potências
, válida para
.