Considerando a identidade
11-x=sumn=0^infty x^n
válida para todo |x|<1, represente cada função abaixo por uma série de potências.
11-4 x

Passo 1

Então, a gente precisa transformar a função 11-4x em uma série de potências. Vamos usar a identidade básica que diz que 11-x = sumn=0^infty x^n, válida para |x| < 1. Para isso, vamos ajustar essa identidade para encaixar a nossa função.

Passo 2

Primeiro, observe que na nossa função temos 1 - 4x no denominador, enquanto na identidade básica é 1 - x. Podemos reescrever a nossa função como 11 - (4x) para que fique mais parecida com a identidade.

Passo 3

Agora, comparando com a identidade 11 - x = sumn=0^infty x^n, substituímos x por 4x. Assim, a série fica: sumn=0^infty (4x)^n.

Passo 4

Simplificando a expressão, temos: sumn=0^infty 4^n x^n. Essa série será válida quando o valor absoluto da razão dentro da série for menor que 1, ou seja, quando |4x| < 1. Resolvendo isso, obtemos |x| < 14.

Resposta

A função 11-4x pode ser representada pela série de potências sumn=0^infty 4^n x^n, válida para |x| < 14.

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