Se a equação diferencial
determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine
(b) Depois de quanto tempo o bloco passa pela primeira vez por sua posição de equilíbrio.
(b) Depois de quanto tempo o bloco passa pela primeira vez por sua posição de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em movimento oscilatório:
Aqui,
é a aceleração do bloco, e
é a posição em relação à posição de equilíbrio. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e funções trigonométricas para achar quando o bloco passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, temos:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial para a velocidade
. Primeiro, derivamos
:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, temos a solução completa da equação diferencial:
Passo 8
Queremos saber quando o bloco passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez, ou seja, quando
:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 9
Podemos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Então:
Passo 10
Sabemos que
quando
, onde
é inteiro. Como queremos o primeiro tempo positivo, escolhemos
:
Passo 11
Resolvendo para
:
Simplificando:
Resposta
Depois de aproximadamente
segundos, o bloco passa pela sua posição de equilíbrio pela primeira vez.