Se a equação diferencial
x'' + 3x = 0, x(0) = 1, x'(0) = 3
determina a posição de um bloco em Movimento Harmônico Simples, tomando como referência a posição de equilíbrio. Determine
(b) Depois de quanto tempo o bloco passa pela primeira vez por sua posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em movimento oscilatório:
Aqui, é a aceleração do bloco, e é a posição em relação à posição de equilíbrio. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e funções trigonométricas para achar quando o bloco passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, temos:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial :
Portanto, .

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para a velocidade . Primeiro, derivamos :
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, temos a solução completa da equação diferencial:

Passo 8

Queremos saber quando o bloco passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez, ou seja, quando :
Vamos resolver essa equação para .

Passo 9

Podemos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Então:

Passo 10

Sabemos que quando , onde é inteiro. Como queremos o primeiro tempo positivo, escolhemos :

Passo 11

Resolvendo para :
Simplificando:

Resposta

Depois de aproximadamente segundos, o bloco passa pela sua posição de equilíbrio pela primeira vez.

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