Considerando a identidade
11-x=sumn=0^infty x^n
válida para todo |x|<1, represente cada função abaixo por uma série de potências.
x^3(1-x^4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar a função 11-x = sumn=0^infty x^n como uma série de potências. Para isso, vamos usar a identidade que nos foi dada:
Essa identidade é válida para . Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipulá-las para chegar na representação que o exercício pede.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a nossa função tem ddy(11-y) = 1(1-y)^2 no denominador. Isso me lembra da derivada da função 1(1 - x^4)^2 = ddx^4(11 - x^4) . Sabemos que:
Então, se a gente substituir por , temos:
Mas, para simplificar, vamos usar uma propriedade conhecida das séries de potências: a derivada de uma série.

Passo 3

Sabemos que:
11 - y = sumn=0^infty y^n
Derivando ambos os lados em relação a 1(1 - y)^2 = sumn=0^infty (n + 1) y^n , temos:
1(1 - x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^4n
Agora, vamos substituir por :

Passo 4

Agora que temos x^3(1 - x^4)^2 = x^3 cdot sumn=0^infty (n + 1) x^4n = sumn=0^infty (n + 1) x^4n + 3 representado como uma série, precisamos multiplicar por para obter a representação da função original:
Aqui, distribuímos o dentro da soma, somando os expoentes.

Resposta

Portanto, a representação da função x^3(1-x^4)^2 = sumn=0^infty (n + 1) x^4n + 3 como uma série de potências é:

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