Considerando a identidade
válida para todo
, represente cada função abaixo por uma série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar a função
como uma série de potências. Para isso, vamos usar a identidade que nos foi dada:
Essa identidade é válida para
. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como manipulá-las para chegar na representação que o exercício pede.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a nossa função tem
no denominador. Isso me lembra da derivada da função
. Sabemos que:
Então, se a gente substituir
por
, temos:
Mas, para simplificar, vamos usar uma propriedade conhecida das séries de potências: a derivada de uma série.
Passo 3
Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, vamos substituir
por
:
Passo 4
Agora que temos
representado como uma série, precisamos multiplicar por
para obter a representação da função original:
Aqui, distribuímos o
dentro da soma, somando os expoentes.
Resposta
Portanto, a representação da função
como uma série de potências é: