Use a série de e^x para calcular o valor da soma
sumn=0^infty (-1)^nn!2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série usando a série de . Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e a definição da série exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de e^x = sumn=0^infty x^nn! . Sabemos que:
Essa é uma representação muito útil porque nos permite expressar funções exponenciais como somas infinitas.

Passo 3

No nosso exercício, temos uma soma que se parece muito com a série de sumn=0^infty (-1)^nn!2^n e e^x = sumn=0^infty x^nn! , mas com alguns ajustes. Vamos comparar:
Podemos ver que se substituirmos por na série de , conseguimos exatamente a série que temos no exercício.

Passo 4

Então, vamos fazer essa substituição. Tomando e^-12 = sumn=0^infty (-12)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nn!2^n , temos:
Perceba que agora a série do exercício é igual a .

Passo 5

Agora, para encontrar o valor da soma, basta calcular e^-12 = 1raize . Sabemos que , então:
Isso nos dá o valor exato da soma da série.

Resposta

A soma da série é , ou aproximadamente 0,6065.

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