Considerando a identidade
11-x=sumn=0^infty x^n
válida para todo |x|<1, represente cada função abaixo por uma série de potências.
x1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente vai trabalhar com séries de potências, que são maneiras de representar funções usando somas infinitas de termos com potências de 11-x = sumn=0^infty x^n . A gente vai usar a identidade que foi dada:
Essa identidade é válida para todo .

Passo 2

A parada aqui é representar a função como uma série de potências. Dá pra notar que o denominador é parecido com o da identidade que a gente tem, que é .

Passo 3

Vamos adaptar a identidade que a gente tem para encaixar na nossa função. Se a gente substituir 11 - x^2 = sumn=0^infty (x^2)^n = sumn=0^infty x^2n por na série original, fica assim:

Passo 4

Agora, pra chegar na função que queremos, que é x1 - x^2 = x cdot sumn=0^infty x^2n = sumn=0^infty x^2n + 1 , a gente multiplica ambos os lados da equação por :

Resposta

Então, a série de potências que representa x1 - x^2 = sumn=0^infty x^2n + 1 é:

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