Considere a equação diferencial
Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
O objetivo é calcular o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções estacionárias.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação diferencial dada. Como é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, sua solução geral é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular da equação completa.
Passo 3
Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, obtemos os valores de
que determinam o comportamento da solução homogênea.
Passo 4
Agora, vamos procurar uma solução particular para a equação completa
. Como o termo da direita é uma constante (
), uma solução particular provável é uma função constante, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo
na equação diferencial:
Então, a solução particular é
.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde
contém termos que dependem de
e decaem ou crescem exponencialmente dependendo das raízes da equação característica.
Passo 7
Para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, observamos que os termos da solução homogênea geralmente decaem para zero (se as raízes têm partes reais negativas), deixando apenas a solução particular: