Considere a equação diferencial
a y^prime prime+b y^prime+c y=d
Calcule lim t infty y(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
a y'' + b y' + c y = d
O objetivo é calcular o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções estacionárias.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação diferencial dada. Como é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, sua solução geral é a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica:
a r^2 + b r + c = 0
Resolvendo essa equação quadrática, obtemos os valores de que determinam o comportamento da solução homogênea.

Passo 4

Agora, vamos procurar uma solução particular para a equação completa . Como o termo da direita é uma constante ( ), uma solução particular provável é uma função constante, ou seja, .

Passo 5

Substituindo a cdot 0 + b cdot 0 + c K = d c K = d K = dc na equação diferencial:
Então, a solução particular é .

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp = yh(t) + dc
Onde contém termos que dependem de e decaem ou crescem exponencialmente dependendo das raízes da equação característica.

Passo 7

Para encontrar o limite de limt infty y(t) = limt infty ( yh(t) + dc ) = dc quando tende ao infinito, observamos que os termos da solução homogênea geralmente decaem para zero (se as raízes têm partes reais negativas), deixando apenas a solução particular:

Resposta

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