Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral em coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar transformar os limites de integração para coordenadas cilíndricas e expressar a função integranda na nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, lembramos que em coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume é dado por:
Isso nos ajuda a transformar a integral de coordenadas cartesianas para cilíndricas.
Passo 3
Analisando os limites de integração:
Para de 0 a 1,
Para de 0 a ,
Para de 0 a .
Observamos que a região descrita é um quarto de um cilindro de raio 1 no plano e limitado pela superfície do semiesfera de raio 2 no eixo .
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, os limites se tornam:
de 0 a (já que e são positivos),
de 0 a 1 (raio do cilindro),
de 0 a (altura limitada pela semiesfera).
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Aqui, permanece igual, e multiplicamos por devido ao elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em e por último em .
Integrando em relação a :
Passo 7
Substituindo o resultado na integral, temos:
integral0^pi2 integral0^1 (4 - r^2)2 cdot r , dr , dtheta = 12 integral0^pi2 integral0^1 (4r - r^3) , dr , dtheta
Passo 8
Agora, integramos em relação a integral0^1 (4r - r^3) , dr = 2r^2 - r^44 |0^1 = 2(1)^2 - 1^44 = 2 - 14 = 74 :
12 cdot 74 = 78
Multiplicando pelo :
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a integral0^pi2 78 , dtheta = 78 cdot pi2 = 7pi16 :