Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais: integral0^1 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 z d z d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral em coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar transformar os limites de integração para coordenadas cilíndricas e expressar a função integranda na nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em coordenadas cilíndricas, as relações são:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume dV = r , dz , dr , dtheta é dado por:
Isso nos ajuda a transformar a integral de coordenadas cartesianas para cilíndricas.

Passo 3

Analisando os limites de integração:
  • Para de 0 a 1,
  • Para de 0 a ,
  • Para de 0 a .
Observamos que a região descrita é um quarto de um cilindro de raio 1 no plano e limitado pela superfície do semiesfera de raio 2 no eixo .

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, os limites se tornam:
  • de 0 a (já que e são positivos),
  • de 0 a 1 (raio do cilindro),
  • de 0 a (altura limitada pela semiesfera).

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral0^pi2 integral0^1 integral0^raiz4 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, permanece igual, e multiplicamos por devido ao elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em integral0^raiz4 - r^2 z , dz = z^22 |0^raiz4 - r^2 = (4 - r^2)2 , depois em e por último em .
Integrando em relação a :

Passo 7

Substituindo o resultado na integral, temos:
integral0^pi2 integral0^1 (4 - r^2)2 cdot r , dr , dtheta = 12 integral0^pi2 integral0^1 (4r - r^3) , dr , dtheta

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^1 (4r - r^3) , dr = 2r^2 - r^44 |0^1 = 2(1)^2 - 1^44 = 2 - 14 = 74 :
12 cdot 74 = 78
Multiplicando pelo :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a integral0^pi2 78 , dtheta = 78 cdot pi2 = 7pi16 :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados