A equação diferencial
y'' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -raiz(6)
determina a posição de um bloco em MHS tomando como referência a posição de equilíbrio.
(a) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em um Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo aqui é encontrar quatro coisas sobre esse movimento: a amplitude, a frequência, a fase e o período. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e conceitos básicos de MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um Movimento Harmônico Simples é:
onde omega é a frequência angular. Comparando com a nossa equação:
vemos que:
Esse omega vai nos ajudar a encontrar a frequência e o período depois.

Passo 3

A solução geral da equação diferencial é:
onde:
  • A é a amplitude,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar A e phi.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0) = 1 na solução geral:
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função y(t) para usar a segunda condição inicial:
Aplicando :
Simplificando:

Passo 6

Temos duas equações agora:
Vamos lembrar que . Substituindo as equações:
Substituindo :
Então:

Passo 7

Agora que sabemos que , podemos encontrar e :
Isso nos mostra que:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a frequência f e o período T.
A frequência angular omega está relacionada com a frequência f pela fórmula:
O período T é o inverso da frequência:

Resposta

A amplitude do movimento é , a frequência é Hz, a fase é radianos e o período é segundos.

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