A equação diferencial
determina a posição de um bloco em MHS tomando como referência a posição de equilíbrio.
(a) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento;
(a) Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período do movimento;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em um Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo aqui é encontrar quatro coisas sobre esse movimento: a amplitude, a frequência, a fase e o período. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e conceitos básicos de MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um Movimento Harmônico Simples é:
onde
é a frequência angular. Comparando com a nossa equação:
vemos que:
Esse
vai nos ajudar a encontrar a frequência e o período depois.
Passo 3
A solução geral da equação diferencial é:
onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 4
Aplicando a condição inicial
na solução geral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função
para usar a segunda condição inicial:
Aplicando
:
Simplificando:
Passo 6
Temos duas equações agora:
Vamos lembrar que
. Substituindo as equações:
Substituindo
:
Então:
Passo 7
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
e
:
Isso nos mostra que:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a frequência
e o período
.
A frequência angular
está relacionada com a frequência
pela fórmula:
O período
é o inverso da frequência:
Resposta
A amplitude do movimento é
, a frequência é
Hz, a fase é
radianos e o período é
segundos.